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ganzrationale Funktionen <b>(uralt)</b>
Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Analysis
 
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anonymous 10:59 Uhr, 02.02.2006  |
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Hallo, unser Lehrer schreibt am Dienstag eine Mathearbeit, die in etwa den folgenden Aufgabentypen entspricht. Ich hab jedoch leider keine Ahnung davon. Es wäre sehr lieb wenn mir jemand den Ansatz bzw. Lösungsweg schreiben kann. Bin total hilflos und verzweifelt! ;-( Nullstellen bestimmen y=x*3-3x*2+x y=(x-2)(x*2+4x+5) *=hoch ... Nullstellen bestimmen bei ganzrationalen Funktionen y=x*5-x*4-8x*3+8x*2+16x-16 Untersuchen Sie das Verhalten für große Werte von x für funktionen mit folgenden Vorschriften y=ax y=ax*2 y=x*2-6x-5x*3 Vielen Dank schonmal im voraus für eure Hilfe! Mona |
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anonymous 19:58 Uhr, 02.02.2006 |
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Hallo Mona, Also mein Mathe Lehrer würde sagen das das selbst sein Dackel rechnen könnte und danach käme der Spruch „ Mathe ist einfach, Mathe macht Spaß“. Das finde ich nicht! Also helfe ich dir mal auf die Sprünge, zumindest was die Nullstellen angeht. Also zu erst musst du eine Nullstelle manuell finden, also für x einen Wert einsetzen und die Gleichung durchrechnen, wenn Null raus kommt ist der x Wert eine Nullstelle! Danach, Polynomdivision: Nun musst du die Gleichung durch x minus die gefundene Nullstelle dividieren (hier 1), das bedeutet im Klartext: (x^5 - x^4 - 8x^3 + 8x^2 + 16x - 16) : (x - 1) = x^4 - 8x^2 + 16 -(x^5 - x^4) ——————————————————————————————————————— (- 8x^3 + 8x^2 + 16x - 16) -( 8x^3 + 8x^2) ——————————————————————————— (16x - 16) -(16x - 16) ————————— 0 Du musst rechnen: den ersten Wert durch X (x^5 : x = x^4), und hinter das Gleichzeichen schreiben, dann X Mal x^4 = x^5, den wert unter die Gleichung in Klammern, dann -1 Mal x^4 = -x^4, auch den unter die Gleichung in Klammern. Jetzt geht es mit dem Rest weiter! Nun musst du wieder eine Nullstelle „raten“(hier 2) (x^4 - 8x^2 + 16) : (x - 2) = x^3 + 2x^2 - 4x - 8 -(x^4 - 2x^3) ——————————————————————————————— (2x^3 - 8x^2 + 16) -(2x^3 - 4x^2) ———————————————————————— (- 4x^2 + 16) -(- 4x^2 + 8x) —————————————————— (- 8x + 16) -(- 8x + 16) —————————— 0 Nun brauchst du wieder eine Nullstelle (hier 2 ja es kann mehrer am gleichen Punkt geben): (x^3 + 2x^2 - 4x - 8) : (x - 2) = x^2 + 4x + 4 -(x^3 - 2x^2) —————————————————————— (4x^2 - 4x - 8) -(4x^2 - 8x) ——————————————— (4x - 8) -(4x - 8) ——————— 0 Endlich kannst du die P-Q Formel nutzen: p-q Formel = -p/2 +- √(p/2)² - q --> Einfacher: Mittigen X wert durch 2 und Vorzeichen umdrehen, unter die Wurzel den Wert ohne das verdrehte Vorzeichen zum Quadrat und Minus q (das ist die letzte Zahl, hier 4.) Achtung Minus und Minus gibt Plus! Also auf das Vorzeichen achten! x^2 + 4x + 4 = X4,5 = -2 +- √(2)² -4 X4,5 = -2 +- √0 --> Leider ist bei deiner Gleichung nichts unter der Wurzel, so das die Wegfällt X4,5 = -2 <-- Das ist eine Doppelte Nullstelle es gibt also zweimal die -2 Nun hast du alle Nullstellen: X1 = 1 X2 = 2 X3 = 2 X4 = -2 X5 = -2 So viel Glück bei deiner Klausur!!! Und wenn es nicht so klappt: Hinfallen st keine Schande, liegen bleiben schon! Gruß korffie |
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Hallo, was korffie da schreibt, ist im Prinzip richtig, aber m.E. wenig hilfreich. Natürlich gibt es bei Polynomen höherer Ordnung keine expliziten Lösungen für Nullstellen mehr und man muß die erste Nullstelle irgendwie finden, aber weil das auch Lehrer wissen, ist das meistens mit irgendeinem Trick verbunden. Da gibt es derer einige, für das Polynom x^5-x^4-8x^3+8x^2+16x-16 gibt es gleich mehrere anschauliche Tricks: 1. Das Polynom hat auffällige Koeffizienten 1,-1,-8,8,16,-16, d.h. für ungerade Potenzen von x gibt es einen beliebigen Koeffizienten und für die nachfolgende gerade Potenz gibt es ein Vielfaches dieses Koeffizienten (Vielfaches, weil immer mit (-1) multipliziert). Bei Polynomen dieser Art findet man die erste Nullstelle gleich, sie ist nämlich gleich den negativen des Koeffizienten, also hier (-(-1))=1. Warum: x^5-x^4-8x^3+8x^2+16x-16 =(x-1)*x^4-(x-1)*8*x^2+(x-1)*16 =(x-1)*(x^4-8x^2+16) Ein so geschriebenes Polynom (siehe auch y=(x-2)(x^2+4x+5)) Hat dort eine Nullstelle, wo die beiden (oder bei mehreren: einer der) Faktoren eine Nullstelle hat und die Nullstelle von (x-1) zu finden ist einfach! Für die Nullstellen von x^4-8x^2+16 (erhalten ohne aufwändige Polynomdivision, die doch einige Zeit in Anspruch nimmt und die hat man in Mathearbeiten nie ausreichend!) folgt der zweite Trick: Das Polynom hat keine ungeradzahligen Potenzen, dann kann man eine Substitution y=x^2 durchführen und erhält: x^4-8x^2+16 =y^2-8x+16 Dieses Polynom 2-ter Ordnung kann man explizit lösen (entweder mit p-q-Formel oder durch scharfes Hingucken: 16=4^2 und -8=-2*4 --> binomische Formel: (y-4)^2), in beiden Fällen erhält man die doppelte Nullstelle y=4, d.h. daß auch jede Lösung der Rücksubstitution doppelte Nullstelle ist. Damit erhält man 4=x^2 --> x=+-2, also sowohl (-2) als auch 2 sind doppelte Nullstellen von (x^4-8x^2+16) --> Die Nullstellen sind x1=1 x2=-2 x3=-2 x4=2 x5=2 Dieses Verfahren war eher ohne zeitaufwändiges Raten und ist ohne Polynomdivision fehlerunanfälliger. Man sollte in Mathearbeiten stets nach solchen Tricks ausschau halten. Je mehr man davon kennt, desto einfacher und schneller sind die Aufgaben gelöst. Ein anderer Trick ist der, daß z.B. das lineare Glied fehlt (siehe y=x^3-3x^2+x) oder gar mehrere Potenzen mit den "kleinen Exponenten", dann verwendet man den Trick, daß man x mit dem "kleinsten Exponenten" zunächst ausklammert (y=x*(x^2-3x+1)). Auch hier gilt, daß die Nullstelle von y eine Nullstelle einer der beiden Faktoren ist, also x=0 ist die erste Nullstelle. Die restlichen Nullstellen findet man bei diesem Beispiel wieder mit der p-q-Formel und in der Arbeit sicher mit diesem oder einen anderen Trick. Ein anderer Trick (ähnlich dem ersten mit den Koeffizienten 1,-1,-8,8,16,-16) ist der folgende: y=x^5-4x^4-5x^3-8x^2+32x+40 Betrachtet man sich die Koeffizienten 1,-4,-5,-8,32,40, fällt einem wieder etwas auf: Ab dem vierten sind alle Koeffizienten ein Vielfaches ((-8)-faches) der ersten 3 Koeffizienten. Da kann man wieder einfach zusammenfassen: y=x^3*(x^2-4x-5)-8*(x^2-4x-5)=(x^3-8)*(x^2-4x-5) Nullstellen sind wieder die Nullstellen der Faktoren, also muß man nun lösen: x^3-8=0 --> x^3=8 --> x=2 ist dreifache Nullstelle (x1 und x2 und x3) x^2-4x-5=0 --> x12=2+-sqrt(4+5)=2+-3 --> x4=-1 und x5=5 Wieder schnell, einfach und ohne Raten. Als Abschluß noch ein Trick, den man kennen sollte. Manchmal ist es hilfreich, die Koeffizienten aus dem pascalschen Dreieck zu kennen (also die Binomialkoeffizienten). Zu kennen heiß nicht, sie auf Aufforderung aufzählen zu können, sondern dann, wenn mans sie sieht als solche zu erkennen. y=x^7-6x^6+12x^5-8x^4-4x^3+24x^2-48x+32 Koeffizienten: 1,-6,12,-8,-4,24,-48,32 --> die letzten vier sind das (-4)-fache der ersten vier, also y=x^4*(x^3-6x^2+12^x-8)-4*(x^3-6x^2+12^x-8)=(x^4-4)*(x^3-6x^2+12^x-8) x1 bis x4 sind Lösungen von x^4-4=0, also x^4=4 x=+-sqrt(2) (2 mal mit Minus und zweimal mit Plus) x5 bis x7 ergeben sich als Lösung der Gleichung x^3-6x^2+12^x-8=0 Die letzte Stelle ist eine Kubikzahl (8=2^3) und die "mittleren Koeffizienten" ((-6) und 12) sind vielfache von 3 und von dieser 2 ((-6)=3*(-2) und 12=3*4=3*(-2)^2). Damit kann man "sehen, daß x^3-6x^2+12x-8=(x-2)^3 ist also x=2 dreifache Nullstelle der Ausgangsgleichung ist. Wie gesagt, es gibt viele solcher Tricks, welchen man braucht, ist ein wenig mit Überlegung verbunden und ob man den Trick erkennt, hängt von der Erfahrung ab, denn hier gilt wie bei allen anderen Sachen: Übung macht den Meister. Wer einen Trick öfter angewandt hat als die anderen, der wird auch leichter sehen, ob der Trick geeignet ist oder nicht. Und wie gesagt: Auch Mathelehrer sind keine Unmenschen, in Mathearbeiten sind die Tricks i.d.R. leichter zu finden als in Hausaufgaben, da der Faktor Zeit eine Rolle spielt. |
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anonymous 06:59 Uhr, 03.02.2006 |
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Hallo Sven, ja das ist auch nützlich. Nur ich habe es nicht anders gelernt wie ich es geschrieben hab :-( Kannst du auch mein Problem lösen? www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000009430&read=1&kat=Schule Gruß korffie |
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Hallo korffie, zwei Dinge verstehe ich nicht: 1. Was heißt, "Nur ich habe es nicht anders gelernt wie ich es geschrieben hab"? Du hast nur gelernt, die Nullstellen zu raten? Da muß man Deine Lehrer rügen, daß die euch keine Aufgaben vorgerechnet haben und dabei die möglichen Tricks gezeigt haben, mit denen man später ihre Aufgaben in der Mathearbeit auch lösen kann. Um nicht falsch verstanden zu werden, es geht hier nicht darum, daß euch eure Lehrer einen Trick zeigen sollten und in der nächsten Stunde in der Matharbeit genau dieser eine Trick angewandt wird, sondern daß ihr eine Menge dieser Tricks gezeigt bekommt und eure Lehrer den einen oder andern dann auch mal abprüft. Außerdem kommt man hinter den einen oder andern Trick auch selbst, wenn man nur oft genug Aufgaben lösen muß. 2. Du löst hier eine Aufgabe mit Polynomdivision und kannst andereseits kein Gleichungssystem auflösen? Da stehe ich vor dem selben Rätsel wie einst Professor Schnauz in der Feuerzangenbowle! |
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