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geometrische Reihe um Entwicklungspunkt x=1

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Tags: Folgen und Reihen, Funktion, Funktionalanalysis, Funktionenreihen

Abos1401 aktiv_icon

18:01 Uhr, 21.04.2014

Nabend Leute,

ich habe eine Funktion gegeben, die ich in eine Potenzreihe umwandeln soll.
Um

x_{0} = 0

ist das kein Problem. Jedoch soll ich um

x_{0} = 1

entwickeln, und da komme ich nicht weiter.

f (x) = \frac{3}{3 - x} . .

. als geom. Reihe um

x_{0} = 0 \to \frac{1}{1 - \frac{x}{3}} = \sum {(\frac{x}{3})}^{n}

von 0 bis unendlich

Dabei handelt es sich ja um eine Potenzreihe mit

a_{n} = 1

und

x_{0} = 0

\sum {(\frac{x}{3} - x_{0})}^{n}

mit

x_{0} = 0

[

edit: gemeint waren die Potenzreihen, habs korrigiert]

Wenn ich jetzt um

x_{0} = 1

entwicklen will:

\sum {(\frac{x}{3} - 1)}^{n}

bekomme ich eine falsche Reihe. Was mach ich falsch ?

Gruß, Abos

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

lepton

22:39 Uhr, 21.04.2014

Weisst du eigentlich, wie eine Potenzreihe de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe definiert ist? So wie ich das sehe, bringst du da ganz schön was durcheinander!
Dein

a_{n} \neq 1

sondern

a_{n} = \frac{1}{3^{n}}

, wenn du um

x_{0} = 0

entwickelst!
Deine genannte Potenzreihe ist einfach die Taylorreihe von

f

T_{f} (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (x - x_{0})^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} (x - x_{0})^{n}

Abos1401 aktiv_icon

17:00 Uhr, 22.04.2014

. .

Abos1401 aktiv_icon

17:00 Uhr, 22.04.2014

Ich hab mich schlecht ausgedrückt.
Also ich weiß ja dass ich eine Funktion mittels einer Potenzreihe ausdrücken kann.

Aber es gibt einen einfacheren Weg, indem man die Funktion so "ausklammert", dass man einen Teil mit der geometrischen Reihe ausdrücken kann:

Hier:

f (x) = \frac{3}{3 - x} = \frac{3}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{3}}

Es gilt:

\sum (x^{n}) = \frac{1}{1 - x}

\to f (x) = \frac{3}{3} \cdot \sum {(\frac{x}{3})}^{n} = \sum {(\frac{x}{3})}^{n}

So kann man die Funktion durch eine Potenzeihe mittels geom. Reihe ausdrücken.
Jedoch beschreibt man die Funktion hier um den Punkt

x_{0} = 0

Gesucht ist aber die Funktion um den Entwicklungspunkt

x_{0} = 1

Meine Idee:

f (x) = \sum {(\frac{x}{3})}^{n} = a_{n} \cdot {(\frac{x}{3} - x_{0})}^{n}

mit

a_{n} = 1

und

x_{0} = 1

wenn ich für

x_{0} = 1

einsetze bekomme ich aber eine ganz andere Funktion irgendwo ganz anders.

Abos1401 aktiv_icon

17:27 Uhr, 22.04.2014

Hier kann man die Funktionen sehen

Blau: Ausgangsfunktion

f (x) = \frac{3}{3 - x}

Rot:

f (x) = \sum {(\frac{x}{3})}^{n}

(Funktionsannäherung um

x_{0} = 0

Grün:

f (x) = \sum {(\frac{x}{3} - 1)}^{n}

Also keine Funktionsaannährung um

x_{0} = 1

pwmeyer aktiv_icon

19:49 Uhr, 22.04.2014

Hallo,

es gilt:

\frac{3}{3 - x} = \frac{3}{2 - (x - 1)} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x - 1}{2}}

Jetzt kannst Du die Formel für die geometrische Reihe anwenden.

Gruß pwm

Abos1401 aktiv_icon

20:18 Uhr, 22.04.2014

Wow, danke, es funktioniert :-D)
Saß 2 Tage schon daran
Danke
Gruß Abos

lepton

22:41 Uhr, 22.04.2014

Deine Darstellung der Reihe ist nicht ganz korrekt! Dir ist offenbar immer noch nicht klar, was

a_{n}

bei einer Potenzreihe bedeutet! Das sind die Koeffizienten der Reihe, wobei

n \in N

gilt. Deine geometrische Reihe für

x_{0} = 0

ist korrekt, wobei

a_{n} = 1 / 3^{n}

gilt. Aber für

x_{0} = 1

ist es nicht korrekt, da die

3

nicht in die Klammer gehört, Für

x_{0} = 1

T_{f} (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (x - x_{0})^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{3}{2^{n + 1}} (x - 1)^{n}

Du bringst da

a_{n}

immer noch durcheinander, schaue dir am besten einen guten Script über Potenzreihen an!

Abos1401 aktiv_icon

17:59 Uhr, 24.04.2014

Hab ich zur Kenntnis genommen

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