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geometrische Verteilung Variante B beweisen

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Erwartungswert

Verteilungsfunktionen

Zufallsvariablen

Tags: Erwartungswert, Verteilungsfunktion, Zufallsvariablen

klauszi aktiv_icon

14:43 Uhr, 01.06.2015

Hallo Community!

Laut Wikipedia gilt, dass E(X) =

\frac{1 - p}{p}

für die geometrische Verteilung gilt.

Leider habe ich ein falsches Ergebnis erhalten und hoffe, dass jmd. mein Fehler
entdeckt.

Voraussetzungen:

(1)

E (X) = \sum_{k = 1}^{\infty} P {X \geq k}

Für eine Zufallsvariable X mit

X : Ω \to ℕ_{0}

auf einem diskreten Wahrscheinlichkeitraum und da muss ein E(X) existieren.

und die Zähldichte der geometrischen Verteilung (Variante B) entsprechend:
(2)

f_{X} (l) = (1 - p)^{l} \cdot p; \forall l \in ℕ_{0}

und ziemlich hilfreich: die geometrische Reihe (3) ,die endliche Version davon (4)
und

\sum_{i = 0}^{\infty} f_{X} (l) = 1

(5)

Vorgehen:
Wir haben als Tipp bekommen Zunächst

P {X \geq k}

zu berechnen und anschließend
dies in (1) einzusetzen

(falscher) Lösungsweg

P {X \geq k} =^{(2)} \sum_{i = 0}^{k} (1 - p)^{i} \cdot p = p \sum_{i = 0}^{k} (1 - p)^{i}

=^{(4)} p \cdot \frac{1 - (1 - p)^{k + 1}}{1 - (1 - p)} = 1 - (1 - p)^{k + 1}

und anschließend (1):

E (X) = \sum_{k = 1}^{\infty} 1 - (1 - p)^{k + 1} =^{(5)} \sum_{k = 1}^{\infty} (1 - p)^{k} \cdot p - (1 - p)^{k + 1}

= \sum_{k = 1}^{\infty} (p - (1 - p)) (1 - p)^{k} = (2 p - 1) \sum_{k = 1}^{\infty} (1 - p)^{k}

= (2 p - 1) (\sum_{k = 0}^{\infty} (1 - p)^{k} - 1)

=^{(3)} (2 p - 1) (\frac{1}{1 - (1 - p)} - 1) = (2 p - 1) (\frac{1}{p} - 1) = (2 p - 1) \frac{1 - p}{p}

Und wie ihr sehen könnt, hab ich den Faktor (2p-1) zu viel!

Vielen Dank schon mal im Voraus :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

14:49 Uhr, 01.06.2015

Ich verstehe die Zeile (5) nicht..

klauszi aktiv_icon

15:17 Uhr, 01.06.2015

ups ich meinte

\sum_{i = 1}^{\infty} f_{X} (i) = 1

. Also die Summe der Wahrscheinlichkeiten von allen Instanzen

i \in ℕ_{0}

muss 1 ergeben.
;-----------------------------------------------------------------------------------------
Autsch jetzt sehe ich meinen Fehler! ich habe

\sum_{i = 1}^{\infty} 1 = \sum_{i = 1}^{\infty} f_{X} (i)

angenommen... Das heißt, dann aber das die Reihe dann divergiert und nicht konvergiert...

DrBoogie aktiv_icon

15:32 Uhr, 01.06.2015

Bei Dir ist schon (2) falsch, denn linkst steht

P (X \geq k)

und rechts

P (X \leq k)

klauszi aktiv_icon

18:57 Uhr, 01.06.2015

Du hast Recht! jetzt habe ich das auch :-)

Schritt 1:

Σ_{i = k}^{\infty} (1 - p)^{i} \cdot p = p \cdot Σ_{i = k}^{\infty} (1 - p)^{i} =

p \cdot (Σ_{i = 0}^{\infty} (1 - p)^{i} - Σ_{i = 0}^{k} (1 - p)^{i})

=^{(3), (4)} p \cdot (\frac{1}{1 - (1 - p)} - \frac{1 - (1 - p)^{k + 1}}{1 - (1 - p)})

= p \cdot (\frac{1}{p} - \frac{1 - (1 - p)^{k + 1}}{p})

= 1 - 1 + (1 - p)^{k + 1} = (1 - p)^{k + 1}

Schritt2:

E (X) = Σ_{k = 0}^{\infty} (1 - p)^{k + 1} = (1 - p) Σ_{k = 1}^{\infty} (1 - p)^{k}

=^{(3)} (1 - p) \cdot \frac{1}{1 - (1 - p)} = (1 - p) \cdot \frac{1}{p} = \frac{1 - p}{p}

Vielen Dank, Boogie!

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