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geometrische Vielfachheit

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Matrizenrechnung

Tags: Eigenwert, Matrizenrechnung

 
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dkore

dkore aktiv_icon

16:20 Uhr, 17.01.2013

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Hallo zusammen!

Beim Lernen stoße ich auf einen mir unbekannten Begriff: "Geometrische Vielfachheit" von Eigenwerten

Ich habe bereits herausgefunden, dass geometrische Vielfachheit die Anzahl der linearen unabhänigen Eigenvektoren zu einem Eigenwert angibt.


Folgende Aufgabe ist zu lösen:

A=(0001-12-11-110130-4-2)

die Eigenwerte habe ich berechnet und komme auf λ1=1 und λ2=-1


Wie komme ich nun auf die geometrische Vielfachheit?

Meine Musterlösung beschreibt einen Weg über den Rang der Matrix:
Rang(A−1·E)=3<4;
folglich ist 1 = 1 ein Eigenwert der Matrix A mit der geometrischen Vielfachheit
1=4−Rang(A−1·E)=1

Jedoch verstehe ich den Zusammenhang nicht und kann mir die Zahl "4" nicht erklären.
Kann mir jemand in diesen zwei Punkten weiter helfen?

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
flowerpower1234

flowerpower1234 aktiv_icon

19:18 Uhr, 17.01.2013

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Hallo !

Man hat zwei Möglichkeiten die geometrische Vielfachheit im Normalfall zu berechnen:

a) Du berechnest die Kerne und erhälst damit die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren (also die Dimension).

hier Kern (A-1⋅E4) und Kern (A+1⋅E4)
oder

b) Du gehst über den Rangsatz:

dim ker(f)+dim im(f)= dim(V)⇔dim ker (f)+dim rang(f)= dim(V)

Hier wurde erst der Range von (A-E4) berchnet. Die Dimension des Vektorraums hier ist 4. Und dann ist es nur noch einsetzen in die Formel...
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