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geometrischer Schwerpunkt einer Kurve in Polarform

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Funktionalanalysis

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Tags: Bogenlänge, Funktionalanalysis, geometrischer Schwerpunkt, Kurvenlänge, Polarform, Polarkoordinaten, Schwerpunkt, Vektor, Vektoranalysis, Vektorraum

 
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SpeedyGonzales

SpeedyGonzales aktiv_icon

23:53 Uhr, 01.06.2013

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Hallo,

ich stehe vor folgender Aufgabe:

In Polarkoordinaten ist die homogene Kurve K gegeben. Die Massedichte ist 1

K:r=1+cos(φ)

0≤φ≤π

Zuerst soll die Länge der Kurve bestimmt werden.
Hierbei komme ich auf 1.


Der nächste Aufgabenteil lautet:

"Bestimmen Sie die x-Koordinat des (geometrischen) Schwerpunkts der Kurve K.

Hier weiß ich nicht wirklich weiter.

Ich habe so eine Aufgabe bis jetzt nur in der Paramterform gelöst.
Da habe ich nur die Länge, die Massendichte, den x-Parameter sowie den Betrag des Vektors gebraucht.

Wie mache ich das jetzt bei der Angabe in Polorkoordinaten.

Soll ich das mittels x=r⋅cos(φ) und r=Betrag des "Vektors" rechnen?
Wenn ich das so mache kommt auf alle Fälle etwas ziemlich umfangreiches raus, deshalb bin ich mir nicht sicher ob das so passt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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anonymous

anonymous

12:41 Uhr, 03.06.2013

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Hallo

Zunächst einmal empfehle ich (wie so häufig), dass dir eine Skizze sehr helfen könnte.

Dann siehst du sehr schnell, dass das mit

"Kurvenlänge = 1"

nie und nimmer passen kann.

(Aus meiner ganz einfachen Skizze schätze ich etwa Kurvenlänge L=4 )



Dann zum Schwerpunkt:

sei

> L die Kurvenlänge

> x_sp die x-Koordinate des Schwerpunkts

> ds ein differenzielles Kurvenstückchen

Dann gilt natürlich:

L * x_sp = int [x*ds]

L * x_sp = int [(r*cos(phi))*(r*dphi)]

L * x_sp = int [r^2*cos(phi)*dphi]

L * x_sp = int [(1+cos phi)^2*cos(phi)*dphi]



Na - den Rest kriegst aber du hin...

Viel Spaß!
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