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geordnete Basis Beweis

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: geordnete Basis, Körper

Jenny1986 aktiv_icon

02:55 Uhr, 10.05.2010

Huhu
wär toll wenn ihr mir hier auch mal helfen könntet, hab zwar einen Lösungsansatz, weiß aber nicht wie genau ich das alles formulieren soll, vllt habt ihr eine Idee

ich bin's wieder mit eienr neue afgabe an die ich am verzweifeln bin. Also eigentlcih ist mir der Satz der da bewiesen werden soll klar, aber ich weiß nicht wie man den beweisen soll. HILFE!!!

Die Aufgabe:
Es sei

K

ein Körper und

V

ein endlich-erzeugter K-Vektorraum. Weiter seien

U

und

W

Untervektorräume von V. Zeigen SIe:
Es gilt

U \cap W =

{

0 \} und

U + W = V

genau dann, wenn für jede geordnete Basis

(u_{1}, ..., u_{k})

von

U

und jede geordnete Basis

(w_{1}, . .

, w_{m})

von

W

das Tupel

(u_{1}, . .

, u_{k}, w_{1}, . .

, w_{m})

eine geordnete Basis von

V

ist.

danke glg Jenny

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

hagman aktiv_icon

09:00 Uhr, 10.05.2010

1. Angenommen

U \cap W = {0}

und

U + W = V

Sei

(u_{1}, ..., u_{k})

Basis von

U

une

(w_{1}, ..., w_{m})

Basis von W.
Zeige, dass

(u_{1}, ..., u_{k}, w_{1}, ..., w_{m})

Basis von

V

ist,

s . d

1.1

. Zeige: linear unabhängig (benutzt

U \cap W = {0})

1.2

. Zeige: Erzeugendensystem (benutzt

U + W = V)

2. Angenommen für jede Basis

(u_{1}, ..., u_{k})

von

U

und Basis

(w_{1}, ..., w_{m})

ist

(u_{1}, ..., u_{k}, w_{1}, ..., w_{m})

Basis von V.
Wähle eine Basis

(u_{1}, ..., u_{k})

von

U

und eine Basis

(w_{1}, ..., w_{m})

2.1

. Zeige

U \cap W = {0}

(benutzt lineare Unabhängigkeit von

(u_{1}, ..., u_{k}, w_{1}, ..., w_{m}))

2.2

. Zeige

U + W = V

(benutzt, dass

(u_{1}, ..., u_{k}, w_{1}, ..., w_{m})

Erzeugendensystem ist).

Jenny1986 aktiv_icon

13:32 Uhr, 10.05.2010

Genau so hatte ich das auch, allerdings dachte ich dass das nicht reicht, als Beweis
muss ich das nicht noch irgendwie in ne Rechnung packen??
Hast du ne Idee
Danke schonmal für die Antwort

hagman aktiv_icon

11:57 Uhr, 12.05.2010

Nun gut, ich habe ja nur den Weg aufgeschrieben, bei

1.2 - 2.2

steht ja immer noch "Zeige:", was dann eine (kurze) Rechnung erfordert.
Beispielsweise zu

1.1 . :

Seien

a_{1}, ..., a_{k}, b_{1}, ..., b_{m} \in K

mit

a_{1} u_{1} + . .

+ a_{k} u_{k} + b_{1} w_{1} + . .

+ b_{m} w_{m} = 0

Zu zeigen ist, dass daraus

a_{1} = .

= b_{m} = 0

folgt.
Durch Umformen erhält man aus der Gleichung sofort

a_{1} u_{1} + . .

+ a_{k} u_{k} = - (b_{1} w_{1} + . .

+ b_{m} w_{m})

Die linke Seite ist in

U,

die rechte in

W,

also ist der auf beiden Seiten angegebene Vektor in

U \cap W,

nach Voraussetzung also

= 0

.
Aber aus

a_{1} u_{1} + . .

+ a_{k} u_{k} = 0

folgt

a_{1} = ... = a_{k} = 0,

weil

u_{1}, .

, u_{k}

lineaer unabhängig.
Und aus

b_{1} w_{1} + . .

+ b_{m} w_{m} = 0

entsprechend

b_{1} = . .

= b_{m} = 0

Jenny1986 aktiv_icon

00:30 Uhr, 13.05.2010

thx, hab einen anderen Weg genommen, da in deiner Version so viel zu beweisen war, aber danke! Damit hat mans zumindest mal verstanden

also Danke glg Je

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