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georndeter Körper, Induktion?

Universität / Fachhochschule

Tags: Analysis

-Lizzy- aktiv_icon

20:35 Uhr, 20.11.2019

Hallo :-)

Kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe helfen?

Z . z . : \frac{1}{\frac{1}{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})} \leq \frac{1}{2} (a + b),

wobei

K

geordneter Körper mit

a, b \in K

und

0 < a, 0 < b

Ich habe zuerst versucht, es mit Induktion zu zeigen, aber ich glaube, das ist gar nicht nötig?
Und verstehe ich das richtig, dass a und

b

auch kleiner als 1 sein können, solange sie eben nicht 0 sind? Muss ich dann nicht eine Fallunterscheidung machen?

Danke für jede Hilfe

Liebe Grüße
Lizzy

michaL aktiv_icon

21:34 Uhr, 20.11.2019

Hallo,

wenn du die Gleichung gemäß Rechengesetzen für einen geordneten Körper umformst, erhältst du

2 \leq \frac{a}{b} + \frac{b}{a}

.

Wenn ihr also

x + \frac{1}{x} \geq 2

schon kennt, dann wärest du fertig.
Wenn nicht, kannst du die Gleichung oben auch weiter umformen, bis

0 \leq (a - b)^{2}

dasteht. Dass die Gleichung gültig ist, folgt aus den Axiomen eines angeordneten Körpers. (Fallunterscheidung!)

Mfg Michael

-Lizzy- aktiv_icon

01:06 Uhr, 21.11.2019

Hallo michaL,

Danke für deine Antwort!

Allerdings komme ich auf

4 \leq \frac{a}{b} + \frac{b}{a}

?
Und dann funktioniert das mit der binomischen Formel nicht mehr

. .

.
Ich sehe leider nicht, wo ich mich verrechnet habe. Habe ich eventuell etwas aus den Regeln eines geordneten Körpers übersehen, weswegen bei mir etwas anderes herauskommt?

\frac{1}{\frac{1}{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})} \leq \frac{1}{2} (a + b)

1 \leq \frac{1}{2} (a + b) \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})

1 \leq \frac{1}{4} (a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})

4 \leq \frac{a}{b} + \frac{b}{a}

. .

0 \leq a^{2} -

4ab

+ b^{2}

Respon

01:17 Uhr, 21.11.2019

Wenn du etwas anders umformst, dann kommst du zu

\sqrt{a \cdot b} \leq \frac{1}{2} \cdot (a + b)

Das ist die bekannte´Eigenschaft, dass das geometrische Mittel stets

\leq

dem arithmetischen Mittel ist. Der Beweis ist leicht.

-Lizzy- aktiv_icon

01:40 Uhr, 21.11.2019

Hallo :-) Danke für deine Antwort!

Dann komme ich auf

\frac{1}{\frac{1}{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})} \leq \frac{1}{2} (a + b)

\frac{2 a \cdot b}{b + a} \leq \frac{1}{2} (a + b)

2 a \cdot b \leq \frac{1}{2} (a + b) (b + a)

4 a \cdot b \leq {(a + b)}^{2}

2 \cdot \sqrt{a \cdot b} \leq (a + b)

\sqrt{a \cdot b} \leq \frac{1}{2} \cdot (a + b)

0 \leq a - 2 \cdot \sqrt{a \cdot b} + b

0 \leq {(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2}

Allerdings haben wir noch keine Wurzel behnadelt, dann kann ich das nicht so machen, oder?

michaL aktiv_icon

07:15 Uhr, 21.11.2019

Hallo,

ich beziehe mich auf deine erste Antwort.
Dort bist du gekommen bis:

1 \leq \frac{1}{4} (a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})

und landest dann bei

4 \leq \frac{a}{b} + \frac{b}{a}

Wenn du mir erklären kannst, wie man - unfallfrei - von der vorletzten zur letzten Zeile kommt, dann würde ich meinen Irrtum eingestehen.

Oder du versuchst es weiter mit der Wurzelgeschichte...

Mfg Michael

ermanus aktiv_icon

07:55 Uhr, 21.11.2019

Hallo,

K = ℚ

ist ein geordneter Körper, besitzt aber i.a. zu positiven
Elementen keine Quadratwurzel.
Gruß ermanus

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