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gerade oder ungerade Funktion?

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

dasMunzelmuemmel aktiv_icon

17:25 Uhr, 03.01.2019

Hallo!
Ich soll untersuchen, ob die Funktion

f : ℝ \to ℝ

mit

f (x) := sin (x^{3} + 2 x)

gerade oder ungerade ist.
Durch Einsetzen von Zahlen erkennt man recht schnell, dass die Funktion ungerade ist. Denn ist gilt

z . B . :

x = 9 : f (- 9) = - 0,45399 . .

= - f (9)

x = 0 : f (0) = 0

Reicht dies schon aus, wenn ich "untersuchen" soll oder muss ich mehr machen?

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Definitionen:

- - - - -

f

gerade wenn gilt:

f (- x) = f (x)

für

x \in M

f

ungerade wenn gilt:

f (- x) = - f (x)

für

x \in M

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

ermanus aktiv_icon

17:41 Uhr, 03.01.2019

Hallo,
das reicht so natürlich nicht. Du musst es ja für beliebiges (!)

x

zeigen. Setze also

- x

in die Funktion ein und versuche das Minuszeichen
herauszuziehen, indem Du dir bei jedem einzelnen Schritt Rechenschaft
darüber ablegst, warum du das darfst.
Gruß ermanus

dasMunzelmuemmel aktiv_icon

18:03 Uhr, 03.01.2019

In einer Folgerung hatten wir gesagt: Kosinus ist gerade und Sinus ungerade,

d . h

cos (- s) = cos (s)

und

sin (- s) = - sin (s)

. Das habe ich verwendet und erhalte:

f (- x) = sin (- x^{3} - 2 x) = - sin (x^{3} + 2 x) = - f (x)

für alle

x \in ℝ

.

Stimmt das soweit? LG

ermanus aktiv_icon

18:07 Uhr, 03.01.2019

Ja, das ist richtig. Aber du könntest es noch deutlicher machen:

f (- x) = \sin ((- x)^{3} + 2 (- x)) = \sin (- x^{3} - 2 x) = . . .

Dann kann der geneigte Leser auch noch sehen, wie du die Minusse aus den ungeraden Potenzen rausgezogen hast.
Alles prima :-)

dasMunzelmuemmel aktiv_icon

18:10 Uhr, 03.01.2019

Das habe ich auf dem Papier tatsächlich so gemacht.

Und noch eine:

f (x) = sin (x^{2} + 2)

ist gerade weil:

f (- x) = sin ({(- x)}^{2} + 2) = sin (x^{2} + 2) = f (x)

oder?

ermanus aktiv_icon

18:11 Uhr, 03.01.2019

Genau :-)

dasMunzelmuemmel aktiv_icon

18:11 Uhr, 03.01.2019

Super, vielen Dank!! :-)

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