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geschlossene Form einer Folge

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

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15:57 Uhr, 17.10.2013

Ich habe folgende rekursive Folge:

c_{0} = 1

c_{n} = c_{n - 1} + \frac{1}{2^{n}}

Kann man diese Folge geschlossen darstellen?
Ich habe versucht die

c_{n - i}

immer wieder einzusetzten, aber das hilft irgendwie nicht. Und konvergiert die Folge?

Bummerang

15:59 Uhr, 17.10.2013

Hallo,

schreib Dir doch mal die ersten paar Folgenglieder auf, dann solltest Du schon sehen, wohin die Reise geht...

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16:02 Uhr, 17.10.2013

c 0 = 1

c 1 = \frac{3}{2}

c 2 = \frac{7}{4}

c 3 = \frac{15}{8}

Sieht aus, dass sie gegen 2 konvergiert?
Aber leider weiß ich nicht wie die geschlossene Form aussieht

: (

Bummerang

16:04 Uhr, 17.10.2013

Hallo,

berechne doch mal für jedes Folgenglied, das Du schon ausgerechnet hast, den Abstand zur

2 . .

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16:09 Uhr, 17.10.2013

Ok ich habe folgende Abstandsfunktion:

a_{n} = | c_{n} - 2 |

a_{0} = 1

a_{1} = \frac{1}{2}

a_{2} = \frac{1}{4}

a_{3} = \frac{1}{8}

Ahh... :-D)

a_{n} = \frac{1}{2^{n}}

??? :-D)

Bummerang

16:11 Uhr, 17.10.2013

Hallo,

und wenn Du nun Dein gefundenes

a_{n}

in die Betragsgleichung am Anfang einsetzt und beachtest, dass die

c_{n}

kleiner als 2 sind, dann musst Du nur noch nach

c_{n}

umstellen und bist fertig...

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16:17 Uhr, 17.10.2013

a_{n} = | c_{n} - 2 |

\Leftrightarrow \frac{1}{2^{n}} = | c_{n} - 2 |

c_{n} - 2 < 0 \forall n \in N

folgt:

\frac{1}{2^{n}} = - (c_{n} - 2) = - c_{n} + 2

\Rightarrow c_{n} = - \frac{1}{2^{n}} + 2

So?

Bummerang

16:22 Uhr, 17.10.2013

Hallo,

das ist vollkommen korrekt, aber weil Mathematiker geborene Ästheten sind, schreiben sie lieber

2 - \frac{1}{2^{n}}

.

Tip:

Deine Bildungsvorschrift ist in der Art, dass

c_{n} = c_{n - 1} + f (n)

und

c_{0} = f (0)

mit

f (n) = \frac{1}{2^{n}}

ist. Immer dann kann man folgenden Ansatz machen:

c_{n} = \sum_{k = 0}^{n} f (k)

Da Dein

f (n)

eine geometrische Folge mit

q = \frac{1}{2}

ist, kennst Du sogar schon die Formel für die n-te Partialsumme:

\frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}

. Setzt man dort

q = \frac{1}{2}

ein, erhält man:

c_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{2^{k}} = \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{n + 1}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - \frac{1}{2^{n + 1}}}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot (1 - \frac{1}{2^{n + 1}}) = 2 - \frac{1}{2^{n}}

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16:34 Uhr, 17.10.2013

Vielen Dank,
das ist ein super Trick.
Weil wenn ich

c_{n} = c_{n - 1} + f (n)

habe gilt ja:

c_{n} = (c_{n - 2} + f (n)) + f (n) = ((c_{n - 3} + f (n)) + f (n)) + f (n) = (((c_{n - 4} + f (n)) + f (n)) + f (n)) + f (n)

= ... = c_{n - n = 0} + n \cdot f (n) = \sum_{k = 1}^{n} f (k)

Naja ich versuche mir gerade irgendwie deinen Ansatz herzuleiten.
Weiß aber nicht, ob das der richtige Weg ist.

Bummerang

16:39 Uhr, 17.10.2013

Hallo,

der richtige Weg, aber falsch ausgedrückt und ganz falsch abgeschlossen:

c_{n} = c_{n - 1} + f (n)

= c_{n - 2} + f (n - 1) + f (n)

= c_{n - 3} + f (n - 2) + f (n - 1) + f (n)

= c_{n - 4} + f (n - 3) + f (n - 2) + f (n - 1) + f (n)

. .

= c_{0} + f (1) + . .

+ f (n - 3) + f (n - 2) + f (n - 1) + f (n)

= f (0) + f (1) + . .

+ f (n - 3) + f (n - 2) + f (n - 1) + f (n)

= \sum_{k = 0}^{n} f (k)

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16:47 Uhr, 17.10.2013

Verstanden! Vielen Dank, für die schnelle und sehr hilfreiche Antwort!!
Hast du noch mehr von solchen Tricks? Also was man noch häufig gebraucht?

Bummerang

16:51 Uhr, 17.10.2013

Hallo,

was man häufig braucht? Also ich würde sagen: Einen durch viel Übung trainierten Kopf, das reicht für gewöhnlich aus.

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16:56 Uhr, 17.10.2013

alles klar, vielen Dank nochmal! :-)

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