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geschlossene Formel finden + vollständige Indukt.

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Vollständig Induktion

8mileproof aktiv_icon

22:28 Uhr, 14.12.2011

hallo,

ich hätte da ne frage zu folgender frage:

a)

Finden Sie geschlossene Formeln für die summen

f (n) = \sum_{k = 1}^{n} (2 \cdot k - 1)

und

g (n) = \sum_{k = 1}^{n} k^{2}

und beweisen sie diese mit vollständiger induktion.

also ich hab im inet ein wenig recherchiert und da der begriff "geschlossene formel" für mich neu war, hab ich dazu folgende erklärung gefunden:

Geschlossenen formel sind terme, in meinem fall

f (n)

oder

g (n),

die ich entweder als eine endliche verknüpfung

(+, -, ...)

oder als eine funktion darstellen kann, die kein

f (n)

oder

g (n)

enthalten.

ich habe das so verstanden:

mit

2 k - 1

kann ich ja alle ungeraden natürlichen zahlen darstellen

(z . B

1,3,5,

usw...)und mit

k^{2}

alle zweierpotenzen(1,4,9...usw.)
sind also

2 k - 1

und

k^{2}

meine geschlossenen formeln?
ich könnte sie ja auch als funktionen darstellen bspw.:

f (k) = 2 k - 1

oder

g (k) = k^{2}

also wenn ich dazu mal kurz noch ein anderes beispiel geben darf:

fast in jedem mathebuch gibt es zum thema (fast) immer das gleiche beispiel:
zeigen sie:

\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}

so wie ich das verstanden habe ist

\frac{n (n + 1)}{2}

die geschlossene formel.
ist das richtig so?

2.Teil : vollständige induktion:

kann ich ja erst dann machen wenn ich weiß welche geschlossene formeln gemeint sind, oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

Chokess aktiv_icon

22:54 Uhr, 14.12.2011

Hier hatte ich mal erklärt wie man die Formel für dein Beispiel

\sum_{k = 1}^{n} k

findet: www.onlinemathe.de/forum/Vollstaendige-Induktion-1070

\sum_{i = 1}^{n} (2 \cdot k - 1) = 1, 3, 5, 7, 9, ...,2 \cdot (n - 1) - 1, 2 \cdot n - 1

Also alle ungerade Zahlen.

Nun kombiniere ich das erste Glied mit dem letzten, das zweite mit dem vorletzten...:

1 + 2 \cdot n - 1, 3 + 2 \cdot (n - 1) - 1, 5 + 2 \cdot (n - 2) - 1, 7 + 2 \cdot (n - 3) - 1, . .

= 2 n, 3 + 2 n - 2 - 1, 5 + 2 n - 4 - 1, 7 + 2 n - 6 - 1, . .

= 2 n, 2 n, 2 n, 2 n

Das sind nun nur noch die Hälfte der ursprünglichen Glieder also

\frac{n}{2}

und zwar

(\frac{n}{2}) \cdot 2 n

= n^{2}

Für eine ungerade Anzahl von Gliedern passiert folgendes...

1, 3, 5, 7, 9, ...,2 \cdot (n - 1) - 1, 2 \cdot n - 1

= 1 + 2 \cdot (n - 1) - 1, 3 + 2 \cdot (n - 2) - 1, 5 + 2 \cdot (n - 3) - 1, 7 + 2 \cdot (n - 4) - 1, ... .,

und

2 \cdot n - 1

= 2 n - 2,

2n-2,2n-2,...und

2 \cdot n - 1

Also

\frac{n - 1}{2}

Glieder der Form

2 n - 2

und eines der Form

2 n - 1

.

Also

\frac{n - 1}{2} \cdot (2 n - 2) + 2 n - 1 = \frac{n - 1}{2} \cdot 2 (n - 1) + 2 n - 1 = {(n - 1)}^{2} + 2 n - 1 = n^{2}

Also gilt wohl

\sum_{k = 1}^{n} 2 k - 1 = n^{2}

8mileproof aktiv_icon

23:05 Uhr, 14.12.2011

wow...geiler ansatz! alles ist klarer geworden...g(n) werde ich mal selber ausprobieren und danach meine ergebnisse hier posten....

2 kleine fragen habe ich noch....

1)

kann ich das immer so bei der suche nach geschlossenen formeln machen ? also das erste glied mit dem letzten kombiniere und so?

2)

muss ich das auch immer für eine ungerade anzahl an gliedern prüfen, und wenn ja kann ich mir immer sicher sein, dass wie in unserem beispiel immer das gleiche also

n^{2}

rauskommt?

Chokess aktiv_icon

23:17 Uhr, 14.12.2011

1)

"Immer" ist ein hartes Wort. Manchmal muss man auch immer 4 Glieder kombinieren oder komplizierter! Beispiele: de.wikipedia.org/wiki/Teleskopsumme

2)

Ja.

\sum_{k = 1}^{n} {(- 1)}^{k}

wird

z . B

. für gerade

n

gleich 0 und für ungerade

n

gleich

- 1

8mileproof aktiv_icon

23:18 Uhr, 14.12.2011

okay, vielen dank...;-)

8mileproof aktiv_icon

23:46 Uhr, 14.12.2011

ich habe das gleiche bei

g (n)

probiert....

g (n) = \sum_{k = 1}^{n} k^{2} = 1,4,9,16,25 ... ., {(n - 1)}^{2}, n^{2}

nun habe ich auch das erste mit dem letzen glied kombiniert etc.

1 + n^{2}, 4 + {(n - 1)}^{2}, 9 + {(k - 2)}^{2}, 16 + {(n - 3)}^{2}, ...

= 1 + n^{2}, 4 + n^{2} - 2 n + 1, 9 + n^{2} - 4 n + 4, 16 + n^{2} - 6 n + 9 ...

= 1 + n^{2}, n^{2} - 2 n + 5, n^{2} - 4 n + 13, n^{2} - 6 n + 25

nun weiß ich allerdings nicht wie die form am ende aussieht. das muss ja

\frac{n}{2} \cdot

mal der form sein, die am ende rauskommt. aber kann man das weitervereinfachen? ich probiers ma weiter aus...

Chokess aktiv_icon

23:58 Uhr, 14.12.2011

Die zweite Summe ist schon schwieriger.

Wie du siehst, kommt da nur Mist raus. Also muss es anders gehen. ;-)

Ich muss sagen, ich weiß es selbst nicht

...

.

Aber ich möchte dir mal meine Idee zeigen, die mir gerade eingefallen ist, aber vielleicht gibt es auch einen einfacheren Ansatz.

Ich würde erst einmal versuchen die Distanz zwischen zwei Quadrat-Zahlen herauszufinden.

Also

{(n + 1)}^{2} - n^{2} = 2 n + 1

AHA! :-D)

Also muss doch folgendes gelten oder? (Achte auf den Index)

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \sum_{k = 0}^{n - 1} k + 2 k + 1

8mileproof aktiv_icon

00:01 Uhr, 15.12.2011

okay, danke...;-)

Chokess aktiv_icon

00:14 Uhr, 15.12.2011

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \sum_{k = 0}^{n - 1} k + 2 k + 1

Ich gleiche das mal ein wenig an.

\sum_{k = 0}^{n - 1} k + 2 k + 1 = (\sum_{k = 0}^{n} k + 2 k + 1) - (3 n + 1) = (\sum_{k = 1}^{n} k + 2 k + 1) - (3 n + 1) + 1

= (\sum_{k = 1}^{n} k) + (\sum_{k = 1}^{n} 2 k + 1) - (3 n + 1) + 1

Also:

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = (\sum_{k = 1}^{n} k) + (\sum_{k = 1}^{n} 2 k + 1) - (3 n + 1) + 1

\sum_{k = 1}^{n} k

habe ich schon im anderen Thread gezeigt.

Aber

(\sum_{k = 1}^{n} 2 k + 1)

gefällt mir noch nicht, da ich ziemlich faul bin, versuche ich das mal auf

(\sum_{k = 1}^{n} 2 k - 1)

zu bringen:

\sum_{k = 1}^{n} 2 k + 1 = (\sum_{k = 1}^{n} 2 k + 1) + (\sum_{k = 1}^{n} - 2) + \sum_{k = 1}^{n} 2 = (\sum_{k = 1}^{n} 2 k - 1) + \sum_{k = 1}^{n} 2

= (\sum_{k = 1}^{n} 2 k - 1) + 2 n

So in die Ausgangsgleichung einsetzen...

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = (\sum_{k = 1}^{n} k) + (\sum_{k = 1}^{n} 2 k + 1) - (3 n + 1) + 1

\Rightarrow \sum_{k = 1}^{n} k^{2} = (\sum_{k = 1}^{n} k) + (\sum_{k = 1}^{n} 2 k - 1) + 2 n - (3 n + 1) + 1

= (\sum_{k = 1}^{n} k) + (\sum_{k = 1}^{n} 2 k - 1) - n

Hmm doch so simpel:

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = (\sum_{k = 1}^{n} k) + (\sum_{k = 1}^{n} 2 k - 1) - n

Dann habe ich bestimmt etwas viel zu umständlich gemacht, außer ich habe mich irgendwo vertan. :-D)

8mileproof aktiv_icon

00:38 Uhr, 15.12.2011

wenn du dich vertan haben solltest, dann liegt es bestimmt an der uhrzeit...ich werde mich erst morgen früh wieder der aufgabe widmen...im moment ist mein ganzer schreibtisch voller blätter auf denen lösungsskizzen stehen, die allerdings nichts taugen...

Chokess aktiv_icon

01:01 Uhr, 15.12.2011

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \sum_{k = 0}^{n - 1} k + 2 k + 1

Aber für

k = 4

also

16,

wird die rechte Seite für

k = 3

10

also stimmt da etwas nicht!

Also Differenz zwischen 2 Quadratzahlen:

{(n + 1)}^{2} - n^{2} = 2 n + 1

\Leftrightarrow n^{2} = {(n + 1)}^{2} - 2 n + 1

Also hätte es so sein müssen:

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \sum_{k = 2}^{n + 1} k^{2} - \sum_{k = 1}^{n} 2 k - 1

\Leftrightarrow \sum_{k = 1}^{n} 2 k - 1 = \sum_{k = 2}^{n + 1} k^{2} - \sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \sum_{k = 1}^{1} k^{2}

was aber null weiterhilft

: (

Ich überlege mir noch mal was anderes...

Chokess aktiv_icon

06:00 Uhr, 15.12.2011

Es wird schwer, es hier anschaulich zu erklären, aber versuch mal dass zu verstehen:

http//www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel1.htm#anhang1

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