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gewinnoptimalen Faktoreinsatzmengen im Gewinnmaxi

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Tags: Optimierung unter Nebenbedingungen

 
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Peace12345

Peace12345 aktiv_icon

15:46 Uhr, 21.11.2019

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Hallo zusammen,

ich benötige bei dieser Aufgabe dringend Hilfe.

Ein Unternehmer produziere ein Gut gemäß der Produktionsfunktion X(r1,r2)=50r10,4r20,5. Dabei bezeichnen r1 und r2 die Einsatzmengen der beiden eingesetzten Produktionsfaktoren und X die Menge/Stückzahl an produzierten Fertigerzeugnissen.
Der Verkaufspreis für das Gut betrage p=2 Geldeinheiten pro Mengeneinheit.
Die gesamte Produktionsmenge X kann stets abgesetzt werden.
Der Preis von Produktionsfaktor r1 sei 50 (Geldeinheiten pro Mengeneinheit),
der von Faktor r2 sei 20.
Seine Kostenfunktion lautet daher K(r1,r2)=50r1+20r2.

1. Ermittle seine Erlösfunktion E(r1,r2)=X(r1,r2)p.
2. Bestimme seine Gewinnfunktion G(r1,r2)=E(r1,r2)K(r1,r2).
3. Berechne die gewinnoptimalen Faktoreinsatzmengen im Gewinnmaximum.
Nutze nur die notwendigen Bedingungen zur Extremwertbestimmung.
4. Wie hoch ist die optimale Produktion und wie hoch der maximal erzielbare Gewinn?

Vielen Dank.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
Enano

Enano

16:35 Uhr, 21.11.2019

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Hallo,

obwohl ich extra meine Brille geputzt habe, kann ich deine Lösungsversuche nicht sehen.
Sicher hast du den folgenden Text gelesen "...setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt." und nur vergessen, dich daran zu halten. Bitte nachholen.

"Produktionsfunktion X(r1,r2)=50r10,4r20,5"

Meinst du damit vielleicht

X(r1,r2)=50r10,4r20,5?
Peace12345

Peace12345 aktiv_icon

18:49 Uhr, 21.11.2019

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Hallo,

meine Lösungsansätze habe ich vorerst nicht genannt,
da ich mir sehr unsicher bin.

zu 1.
Kostenfunktion: K(r1,r2)=50r1+20r2
Nebenbedingung: X(r2,r2)=50r10,4r20,5
Lagrange Funktion: L(r1,r2, λ) =50r1+20r2- λ (50r10,4r0,5)
p=2
pr1=50
pr2=20

x(r1,r2)p=E(r1,r2)
(50r10,4r20,5)p=E(r1,r2)
(50r10,4r20,5)2=E(r1,r2)
2502r10,4+2r20,5=E(r1,r2)
400r10,4r20,5=E(r1,r2)

zu 2.
G(r1,r2)=(400r10,4r20,5)-(50r1+20r2)
=400r10,4r20,5-50r1-20r2

Danach bin ich leider am Ende mit meinem Latein...


Peace12345

Peace12345 aktiv_icon

18:54 Uhr, 21.11.2019

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Die Produktionsfunktion X(r1,r2) sollte folgendes heißen:

Produktionsfunktion X(r1,r2)=50r10,4r20,5

Antwort
Enano

Enano

02:50 Uhr, 22.11.2019

Antworten
"meine Lösungsansätze habe ich vorerst nicht genannt,da ich mir sehr unsicher bin."

Ja, gerade deswegen solltest du sie zeigen.

Zu 1.:

E=(50r10,4r20,5)2

Das ist noch richtig, aber dann wird es gruselig.;-)

Angenommen, r10,4=4 und r20,5=10, dann stünde da:

E=(50410)2=504102=4000

Zwischen den Zahlen stehen nur Mal-Zeichen und kein einziges Plus-Zeichen, so dass die Klammer weggelassen werden kann und die Zahlen nur miteinander multipliziert werden müssen !

Ergebnis zu 1. also:

E(r1,r2)=100r10,4r20,5

Dementsprechend lautet das Ergebnis zu 2.:

G(r1,r2)=100r10,4r20,5-50r1-20r2

Zu 3.:

Die notwendigen Bedingungen für ein Gewinnmaximum sind:

Gr1=40r1-0,6r20,5-50=0

Gewinnfunktion nach r1 abgeleitet und Null gesetzt.

Gr2=50r10,4r2-0,5-20=0

Gewinnfunktion nach r2 abgeleitet und Null gesetzt.

Jetzt könntest du z.B. die beiden g. Gleichungen dividieren und solltest dann zu folgendem Zwischenergebnis kommen:

r2=3,125r1

Die rechte Seite dieser Gleichung gegen r2 in einer der beiden vorherigen Gleichungen ausgetauscht, ergibt eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten, nämlich r1.
Dies sollte letztendlich zu dem Ergebnis führen :

r1=32 und r2=100.

Zu 4:

Um die optimale Produktionsmenge zu bestimmen, brauchst du nur noch die für r1 und r2 ermittelten Zahlen in die Produktionsfunktion einsetzen und solltest so auf 2000ME kommen.

Die bisher ermittelten Zahlen in die Gewinnfunktion eingesetzt, sollte zu einem maximal erzielbaren Gewinn von 400GE führen.





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