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ggT berechnen

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Tags: Polynomring

sandra14 aktiv_icon

09:43 Uhr, 03.06.2015

Berechnen Sie den ggT(x^4

+ 2 \cdot x^{3} - x^{2} - 2 x, x^{3} + x^{2} - x - 1)

im Polynomring

R [x]

mit dem euklidschen Algorithmus. In wieweit ist dieser ggT eindeutig?

DrBoogie aktiv_icon

09:50 Uhr, 03.06.2015

Dann berechne es. Wo gibt's Probleme?

sandra14 aktiv_icon

10:08 Uhr, 03.06.2015

ich weiß wie man den ggT von bspw.

54

und

30

berechnet, aber wie das mit zwei funktionen funktioniert weiß ich leider nicht

DrBoogie aktiv_icon

10:38 Uhr, 03.06.2015

Dann lerne es. Hier gibt's keine Vorlesungen.

Z.B. Aufgabe 2 hier:
http://www.math.kit.edu/iag3/lehre/einfalgzahl2011s/media/%C3%9Cbungsblatt%208%20-%20musterl%C3%B6sung.pdf
oder dieser Thread hier:
http://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=1711&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Furl%3Furl%3Dhttp%3A%2F%2Fmatheplanet.com%2Fmatheplanet%2Fnuke%2Fhtml%2Fviewtopic.php%253Ftopic%253D1711%26rct%3Dj%26frm%3D1%26q%3D%26esrc%3Ds%26sa%3DU%26ei%3DibxuVYaIMMLOyQP_24CQDw%26ved%3D0CCAQFjAC%26usg%3DAFQjCNHpPkg2s2vNuhiRBfEwIrw3dl5Gag
oder sonstwo, es gibt im Netz Tausend Erklärungen.
Und eigentlich müsstest Du dieses Verfahren aus der Vorlesung (Skript) kennen.

michaL aktiv_icon

12:48 Uhr, 03.06.2015

Hallo,

> ich weiß wie man den ggT von bspw. 54 und 30 berechnet, aber wie das mit zwei funktionen funktioniert weiß
> ich leider nicht

Wie macht man es denn bei Zahlen? Genauer: Es ist ja ein schritteweises Verfahren. Welche Schritte werden denn da immer wieder wiederholt?

Mfg Michael

Atlantik aktiv_icon

13:21 Uhr, 03.06.2015

T_{54} = {1,2,3,6,9,27,54}

T_{36} = {1,2,3,4,6,9,18,36}

{g T}_{54,36} = {1,2,3,6,9}

{g g T}_{54,36} = {9}

Denke an Nullstellen bei der Berechnung.

mfG

Atlantik

DerDepp aktiv_icon

17:10 Uhr, 03.06.2015

Aloha :-)

Bei der Bestimmung des ggT von zwei Zahlen, zerlegst du diese in ihre Primfaktoren und schaust, welche Primfaktoren in beiden Zahlen vorkommen:

54 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

30 = 2 \cdot 3 \cdot 5

In beiden Zerlegungen kommt

2 \cdot 3 = 6

vor. Also ist der ggT gleich 6.

Bei Polynomen machst du das genauso. Zur "Primfaktoren-Zerlegung" benötigst du die Nullstellen des Polynoms. Konkret in deinem Fall gibt es zwei Polynome:

p (x) = x^{4} + 2 x^{3} - x^{2} - 2 x; q (x) = x^{3} + x^{2} - x - 1

Es ist klar, dass

p (0) = 0

ist. Also kann man

(x - 0)

bzw.

x

bei p(x) ausklammern:

p (x) = x \cdot (x^{3} + 2 x^{2} - x - 2); q (x) = x^{3} + x^{2} - x - 1

Nun stellst du fest, dass

(x^{3} + 2 x^{2} - x - 2)

für

x = 1

zu Null wird. Es ist daher auch

p (1) = 0

. Und man stellt fest, dass

q (1) = 0

ist. In beiden Polynomen muss also der Faktor

(x - 1)

enthalten sein. Polynomdivision ergibt:

p (x) = x \cdot (x - 1) \cdot (x^{2} + 3 x + 2); q (x) = (x - 1) \cdot (x^{2} + 2 x + 1)

Die Nullstellen von

(x^{2} + 3 x + 2)

kann man mit der pq-Formel ausrechnen. Sie liegen bei

x = - 1

und

x = - 2

. Daher ist

(x^{2} + 3 x + 2) = (x + 1) \cdot (x + 2)

. In

q (x)

fällt die Klammer

(x^{2} + 2 x + 1)

als binomische Formel direkt auf:

(x^{2} + 2 x + 1) = (x + 1)^{2}

. Damit lauten die Zerlegungen der beiden Polynome:

p (x) = x \cdot (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot (x + 2); q (x) = (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot (x + 1)

Der ggT ist das Produkt aus allen gemeinsamen Teilern, also:

ggT (p, q) = (x - 1) \cdot (x + 1) = x^{2} - 1

DerDepp aktiv_icon

18:00 Uhr, 03.06.2015

Hallo nochmal :-)

Ich habe oben übersehen, dass der Euklidische Algorithmus verwendet werden soll. Darin berechnet man

ggT (p, q) = ggT (q, p mod q)

so lange, bis der Rest

(p mod q)

zu Null wird.

Hier ist:

p_{1} (x) = x^{4} + 2 x^{3} - x^{2} - 2 x; q_{1} (x) = x^{3} + x^{2} - x - 1

q_{1} \neq 0

ist, berechne den Rest:

(x^{4} + 2 x^{3} - x^{2} - 2 x) : (x^{3} + x^{2} - x - 1) = x + 1

Rest

- x^{2} + 1

- x^{4} - x^{3} + x^{2} + x

- - - - - - - - - - -

x^{3} - x

- x^{3} - x^{2} + x + 1

- - - - - - - - - - -

- x^{2} + 1

Für den zweiten Schritt haben wir also:

p_{2} (x) = q_{1} (x) = x^{3} + x^{2} - x - 1; q_{2} (x) = p_{1} (x) mod q_{1} (x) = - x^{2} + 1

q_{2} \neq 0

ist, berechne den Rest:

(x^{3} + x^{2} - x - 1) : (- x^{2} + 1) = - x - 1

Rest

0

- x^{3} + x

- - - - - - - - - - -

x^{2} - 1

- x^{2} + 1

- - - - - - - - - - -

0

Für den dritten Schritt haben wir also:

p_{3} (x) = q_{2} (x) = - x^{2} + 1; q_{3} (x) = p_{2} (x) mod q_{2} (x) = 0

q_{3} = 0

ist, sind wir fertig:

ggT (p, q) = - x^{2} + 1

Der Euklidische Algorithmus liefert bis auf das Vorzeichen einen Ausdruck für den ggT.

michaL aktiv_icon

18:46 Uhr, 03.06.2015

Hallo,

gut gemacht, DerDepp. Aber: Warum lässt du der OP nicht die Möglichkeit, daran zu lernen?

Übrigens: Der ggT ist nur bis auf Einheiten festgelegt. Wenn es sich bei dem

R

der OP um

ℝ

handeln sollte, sind das erheblich mehr Einheiten als nur 1 und -1.

Um mit Joda zu sprechen: Viel zu lernen du noch hast, junger Padawan.

Mfg Michael

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