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ggT neutrales Element?
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Algebraische Strukturen, Gruppen
 
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Hi! fragen uns schon seit längerer Zeit, ob eine Algebra mit ggT als Operator ein neutrales Element hat.. unsere Überlegung gin dahin, das beide Zahlen gleich sein müssen, wenn der ursprüngliche Wert erhalten bleiben soll. Laut Definition, ist das neutrale Element aber ein eindeutiges Element, das zu jeder Zahl aus der Trägermenge neutral ist. Verstehen wir die Definition des neutralen Elements nciht richtig? Oder gibt hier einfach keins? Gruss Nils |
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Hallo,
wie wäre es mit ? |
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Hallo, lässt man die Null zu, so wäre das ein Kandidat, da Null alle Teiler (außer Null evtl.) als Zahlen hat. Wenn du dich aber darauf einlässt, dann komm mir bitte nicht als nächstes mit der Frage nach Inversen bzgl. ggT, das wird nicht klappen! Mfg Michael |
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Sorry, das hatte ich vergessen zu erwähnen. Die Trägermenge betrachten wir ohne 0. Mit 0 war uns das schon klar. Danke für die Antwort. |
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Hi Boomerang, wie muss ich verstehen? als Menge der Restklassen 1 und 2? Sorry, wir sind totale Anfänger. Wenn ja, wieso ist dann das neutrale Element eindeutig? |
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Hallo,
"Die Trägermenge betrachten wir ohne 0." Wie ihr selbst später zugebt, seid ihr totale Anfänger. Ihr sucht eine algebraische Struktur mit einer Operation, die der ggT sein soll, die keine Null enthalten soll, aber eine neutrales Element. Ich habe mal gelernt, dass man jede beliebige Menge hernehmen kann und darauf einfach eine Operation, die man ggT nennen darf, definiert, dann hat man die Lösung. Hat die Operation ein neutrales Element, dann nennt man das . einfach "Nullelement". Damit ist eine Forderung nach einer "nullfreien" Trägermenge gar nicht erfüllbar, die Forderung, dass ein neutrales Element existieren soll, führt immer zum Nullelement in der Trägermenge, also zur Null! Nimmt man eine beliebige 2-elementige Menge und definiert eine Operation mit einem neutralen Element, dann ist diese Menge immer isomorph zur Menge mit einer der folgenden Operationen: Das nichtneutrale Element kann mit sich selbst auf das neutrale Element abgebildet werden oder auf sich selbst. Die eine Operation (nichtneutral,nichtneutral) neutral) würde man als Addition in einem anschaulichen Beispiel hernehmen, als neutrales Element würde man die "0" nehmen. Die andere Operation (nichtneutral,nichtneutral) nichtneutral) könnte man als ggT in einem anschaulichen Beispiel hernehmen, als neutrales Element würde man die "0" nehmen. Die "0" steht dabei nicht für die Zahl Null, sondern für eine gerade Zahl. Der ggT zweier gerader Zahlen ist eine gerade Zahl. der ggT zweier Zahlen, bei denen eine Zahl ungerade ist, ist niemals eine gerade Zahl, da kein Teiler einer unteraden Zahl gerade ist und damit natürlich auch nicht der ggT. Wie gesagt, Du kannst jede Menge von Zahlen hernehmen, sie ist immer isomorph. Wenn Du Dich trotzdem konkret an dem Symbol "0" störst, dann nimm die Menge . Bilde dort die ggT's: ggT(1,1) ggT(1,2) ggT(2,1) ggT(2,2) Augenscheinlich gibt es hier keine Null, das neutrale Element ist die "2", diese würde man aber trotz allem als Nullelement bezeichnen dürfen! Die Isomorphie zu oben ist klar, oder? "wie muss ich verstehen?" Ich weiß, dass für den Restklassenring steht, aber hier ging es nur um eine Operation, also nicht um einen Ring, da hatte ich gedacht, dass mit diesem schneller eingetippten klar ist, was gemeint ist. Ich meinte damit einfach eine Menge mit 2 Elementen und einer geeigneten Operationsdefinition. Wer sich auskennt weiß, dass es da nur 2 Möglichkeiten für die operation gibt, wenn man ein neutrales Element haben will. Die Menge selbst ist immer isomorph auf abbildbar. Die eine Operation ist als "Addition" auffassbar und für eine intuitive Betrachtung nicht geeignet, die andere sollte es also sein. Und wie Du hoffentlich gesehen hast, ist diese auch tatsächlich intuitiv, zumindest wenn man die "0" und die "1" nicht nur als Zahlen aus dem Restklassenring sieht. Ich hoffe, dass diese Ausführungen verständlich genug waren. |
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