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ggT zweier Polynome mit EEA berechnen

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: eea, ggT, polynom

aeffchen

17:54 Uhr, 05.04.2019

Halli hallo :-) ,
Ich rätsel schon einen Weile an einer Aufgabe herum.
Man soll den ggT(g,h) mit dem

E E A

bestimmen, wobei "g,h € Z_3

[

x]" mit

g (x) = (x^{5} + 2 x^{2} + x + 2)

und

h (x) = (2 x^{2} + 2)

.

Ich habe jetzt durch die Polynomdivision heraus, dass

g = h \cdot ((\frac{x^{3}}{2}) - (\frac{x}{2}) + 1) + (\frac{2 x}{2 x^{2} + 2})

und

h = 2 x \cdot (x + (\frac{1}{x}))

.

Dann habe ich nochmal geschrieben:

\frac{x^{5} + 2 x^{2} + x + 2}{2 x^{2} + 2}

= \frac{(2 x^{2} + 2) \cdot ((\frac{x^{3}}{2}) - (\frac{x}{2}) + 1) + 2 x}{2 x^{2} + 2}

da bin ich noch unsicher, wieso man

+ 2 x

statt

+ (2 \frac{x}{2} x^{2} + 2)

nimmt. Ich weiß aber, dass mit

(2 \frac{x}{2} x^{2} + 2)

die Lösung nacher nicht stimmt.

Gekürtzt komme ich dann auf:

((\frac{x^{3}}{2}) - (\frac{x}{2}) + 1) + \frac{x}{x^{2} + 1}

Weiter weiß ich jetzt leider nicht mehr aber ich weiß, dass der ggT am Schluss 1 sein muss.
Nur wie kommt man denn jetzt auf darauf?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung
Rechnen mit Klammern
Teilbarkeit natürlicher Zahlen

ermanus aktiv_icon

18:17 Uhr, 05.04.2019

Was bedeutet denn deine Abkürzung "EEA"? Vielleicht
Euklidischer Algorithmus?

aeffchen

18:25 Uhr, 05.04.2019

Ja genau, Erweiterter Euklidischer Algorithmus.

aeffchen

19:06 Uhr, 05.04.2019

Ein Schritt weiter habe ich jetzt

\frac{2 x}{x + (\frac{1}{x})} = 2 - \frac{1}{x}

Also ist

x = \frac{(x + (\frac{1}{x})) \cdot (2 - (\frac{1}{x}))}{2}

Aber wie komme ich damit zur Lösung 1?
Ich steh total auf dem Schlauch..

: (

ermanus aktiv_icon

19:35 Uhr, 05.04.2019

Hallo,
du hast das mit den Resten bei der Division wohl nicht ganz verstanden.
Zunächst eine Vorbemerkung:
der ggT zweier Polynome ist nur bis auf einen Nichtnull-Faktor aus dem Grundkörper
eindeutig bestimmt, d.h. in unserem Falle: ist

f = ggT(g,h)

, so ist auch

- f

ein

ggT

.
Daher können wir statt

h

auch

- h = x^{2} + 1

nehmen:

Die erste Polynomdivision liefert

(x^{5} + 2 x^{2} + x + 2) : (x^{2} + 1) = x^{3} + 2 x + 2

Rest

2 x

,
also

(x^{5} + 2 x^{2} + x + 2) = (x^{3} + 2 x + 2) \cdot (x^{2} + 1) + 2 x .

Die zweite Polynomdivision liefert

(x^{2} + 1) : (2 x) = 2 x

Rest

1

,
also

(x^{2} + 1) = (2 x) \cdot (2 x) + 1

.
Folglich ist dieser letzte Rest

1

der gesuchte

ggT

.
Gruß ermanus

aeffchen

21:43 Uhr, 05.04.2019

Achsoo, okay jetzt hab ich es verstanden!
Vielen Dank für deine Hilfe! :-)

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