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ggt, Ideale und Polynome

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra, ggT, Ideal, polynom

KikiS

16:37 Uhr, 05.09.2018

Hallo zusammen,
ich habe eine bestimmt einfache Aufgabe, an der ich aber scheitere.
Ich danke Euch für Eure Hilfe!

1)

Sei

f, g \in ℚ (x)

die Polynome

f (x) = x^{4} + x^{3} + x^{2} + x

g (x) = x^{3} + x

a)

Berechnen Sie den ggt von

f

und

g

Meine Lösung: ggt

(f, g) = x + 1

b)

Sei

(f, g) \subset ℚ (x)

das von

f

und

g

erzeugte Ideal. Finden Sie ein normiertes Polynom

h \in ℚ (x),

sodass

(f, g)

gleich das Huaptideal

(h)

ist.

Die Lösung eines Kollegen, die ich allerdings nicht verstehe und um Erklärung bitte.

Das Ideal, dass von

f

und

g

erzeugt wird, wird auch von ihrem ggt(f,g)=x+1 erzeugt.
Aus

1 a)

kann man daher sagen, dass

h (x) = x + 1

ist. Denn (ggt(f,g))

= (f, g),

wenn

(f, g) \in ℚ (x)

ein Ideal ist, dann ist

h (x) = x + 1,

also

(h)

automatisch das Hauptideal zu

(f, g)

c)

Weil

(f, g) = (h)

ist, gibt es Polynome

a, b \in ℚ (x),

sodass

h =

af+bg. Finden Sie solche Polynome a und

b

Und obwohl sich das ganz einfach anhört, weiß ich nicht, wie ich hier vorgehen soll.

Danke für Eure Hilfe!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung
Rechnen mit Klammern
Teilbarkeit natürlicher Zahlen

ermanus aktiv_icon

16:42 Uhr, 05.09.2018

Hallo,

f

und

g

haben offenbar den Teiler

x

.
Wie kann dann der ggT

= x + 1

sein?
Gruß ermanus

KikiS

16:51 Uhr, 05.09.2018

Hallo ermanus,
wir haben das immer so gerechnet:

I

(x^{4} + x^{3} + x^{2} + x) : (x^{3} + 1) = x + 1,

Rest

x^{2} - 1

(x^{3} + 1) : (x^{2} - 1) = x

Rest

(x + 1)

III

(x^{2} - 1) : (x + 1) = x - 1

Daraus folgt, ggt(f,g)

= x + 1

Müsste

x

nicht das kgV sein?

ermanus aktiv_icon

17:13 Uhr, 05.09.2018

Du hast wohl fälschlicherweise

g (x) = x^{3} + x

geschrieben ?

KikiS

17:16 Uhr, 05.09.2018

Oh Mist,

g (x)

sollte natürlich

x^{3} + 1

sein!!

Entschuldige bitte meinen Tippfehler!!

ermanus aktiv_icon

17:19 Uhr, 05.09.2018

Ja, so stimmt dein ggT.
Das kgV ist

\frac{f g}{g g T (f, g)}

KikiS

17:24 Uhr, 05.09.2018

Ok Danke soweit!

Nur weiß ich jetzt nicht, wie ich Aufgabe

b)

verstehen soll und

c)

verstehe ich leider nicht.
Kannst Du mir da bitte weiter helfen?

gilgamesch4711 aktiv_icon

18:28 Uhr, 05.09.2018

f = : x F (1 a)

F = x

+ x

+ x + 1 (1 b)

Die Zerlegung von

(1 b)

lässt sich elementar angeben:

F = x

(x + 1) + (x + 1) = (2 a)

= (x + 1) (x

+ 1) (2 b)

Bemerkenswert ist, dass die Wurzeln von

F i n (1 b)

die drei vierten

\Rightarrow

Einheitswurzeln sind. Deine Lösung liegt also mit Pauken und Trompeten daneben

. .

z_{1}; 2 = \pm i; z_{3} = (- 1) (3 a)

Nehmen wir noch die triviale

z_{4} = 1

hinzu, so hast du das Polynom

p_{4} := x^{4} - 1 (3 b)

Und zwar ergibt sich der Zusammenhang zwischen

(1 b)

und

(3 b)

aus einer geometrischen Reihe bzw. der 3. binomischen Formel " Hoch 4 "
Somit IST

g =

ggt

(f; g)

D . h

. wenn ihr das nachprüft, sollte die Polynomdivision

f : g

aufgehen als

(x + 1)

Ich schicke jetzt erst mal ab; und dann machen wir

b

gilgamesch4711 aktiv_icon

19:07 Uhr, 05.09.2018

Sag mal Kiki; bist du ein Bier trinkender Student, der in der Vorlesung pennt? Weil während meiner Dissertation habe ich auch ganze Tage in der Mensa vertrödelt

. .

.
Abert ich war fleißig - auch ohne Vorlesung. Ich kam von den Matrixdarstellungen von Gruppen - überhaupt schonmal davon gehört? Und da versuchte ich mich mal autodidaktisch in Galoisteorie.
In meinem Assistentenzimmer war ich zusammen mit dem " Brger " , einem ab_soo_luuten Schleimer, der immer auftrat wie der Herr Kommissar persönlich - die Hand am Sack und die Zigarette im Mund. Der hatte so Sprüche drauf

" Ich habe gestern schon wieder observiert, wie du dich mit meiner Frau unterhalten hast

. .

. "

Einmal fragte der

" In der Diplomprüfung Nebenfach Mathe machen wir alle Funktionenteorie ( FT ) Also ist es nur in deinem Interesse, wenn du mir hilfst

. .

. "

( Aktion " Asterix bei Kleopatra " Numerobis und Pyradonis, , wenn der Wink ankommt. )

" Im Vordiplom nahm ich dankend jenes Angebot an, dass jeder, der sich freiwillig für FT meldet, eine Note besser kriegt, als er verdient. Aaaber. Ich stehe auch auf dem Standpunkt: Man soll keine Erfolgserlebnisse wiederholen. Ich helf dir ja gerne. Aber ich melde mich für Galoisteorie. "

Mit das Erste, was ich wusste: Was ein Hauptideal ist. Und du begreifst das nicht mal MIT Vorlesung. Schau halt in den

v . d

. Waerden, Artin, Reiffen-Scheja oder - am aller Besten

-

in das Otto-Haupt-Skript.
Geh einfach mal zum Hugendubel.
An sich folgt die Sache mit den Hauptidealen aus der Tatsache, dass in dem Polynomring

K [x]

über Körper

K

die Polynomdivision ( PD ) ausführbar ist. Sei nämlich

J

ein Polynomideal und p_min das Minimalpolynom von

J, d . i

. das Polynom kleinsten Grades. Sei ferner

p \in J

ein beliebiges Polynom; dann geht doch die PD so:

p = q

p_min

+ r;

grad

(r) <

grad ( p_min

) (2.1)

(2.1)

wurde quasi angenommen

r > 0;

sonst wären wir ja eh fertig. Und diese Annahme führen wir zu einem Widerspruch. Aus der Abgeschlossenheit des Ideals folgen nämlich nacheinander die Aussagen

p_min

\in J \Rightarrow (- q) \cdot

p_min

\in J \Rightarrow f - q

p_min

= r \in J (2.2)

Wegen

(2.1)

wäre aber Restpolynom

r

" minimaler " als p_min - widerspruch .
Junge wenn du das nicht raffst, hast du den Anschluss verpasst bei den ganzen Körpererweiterungen. Und die sind schließlich die Pointe der ganzen Teorie .
Dieses p_min ist nebenbei auch der ggt von

J

( Bei dir muss man ja vorsichtig sein; es handelt sich um den ggt von all den unendlich vielen Polynomen aus

J;

Profs stellen gerne so Fangfragen. )
Denn gäbe es einen größeren Teiler

p',

so müsste sein Grad ja auch größer sein als der von p_min - und

p'

könnte kein Teiler von p_min sein .

ermanus aktiv_icon

19:16 Uhr, 05.09.2018

Gilgamesch: willst du schon wieder einen Studenten totlabern?
Vielleicht solltest du dir eine Brille kaufen, dann würdest du sehen,
wie

g

definiert ist ...

ermanus aktiv_icon

19:25 Uhr, 05.09.2018

Ich habe den letzten beleidigenden Beitrag von gilgamesch gegen kikiS gelöscht !
So etwas hat in diesem Forum nichts zu suchen.

Ansonsten ist der ggT eben nicht

g

, und gilgamesch: höre auf,
Studenten zu beleidigen.

gilgamesch4711 aktiv_icon

19:33 Uhr, 05.09.2018

So Leute wie der Kiki sind mir eh suspekt. Denen auf einmamal einfällt, dass die Aufgabe anders heißt, als sie heißt. Oder noch besser: Ich soll raten, wie sie lautet.
Manche tauschen dann auch ganz frech PN mit bestimmten Usern aus, von denen die Community nichts mitbekommt.
Wenn du mich hier anmachst, könnte ich auch kontern: Der Kiki schafft es, dich vor seinen Karren zu spannen. Derändert den Aufgabentext und erwartet, dass du für ihn tanzt, wenn der mit dem Finger schnippt. Mit mir hat sowas ( fast ) noch keiner versucht.
Es reicht ja auch der Hinweis: Ich hab dir gezeigt, wie es geht. Dann mach das halt für das neue Beispiel.

ermanus aktiv_icon

19:38 Uhr, 05.09.2018

Bist du ein Verschwörungstheoretiker oder was ?
Dass sich ein Student verschreiben kann, ist ja wohl eine ganz normale
Angelegenheit.
Noch so ein Blödsinn und ich lösche weitere deiner Beiträge
wie etwa siehe meinen Löschhinweis von 19:25 Uhr!
Ich hoffe, ich habe mich klar ausgedrückt!

ermanus aktiv_icon

17:47 Uhr, 07.09.2018

Hallo,
du hast am 5.9. um 16:51 Uhr den euklidischen Algorithmus zur
Bestimmung des

g g T

verwendet.
Der Aufgabenteil c) wird dadurch gelöst, dass man den euklidischen Algorithmus
Stück für Stück sozusagen "rückwärts" rechnet.

Du hattest folgende Ergebnisse erhalten:

f = g \cdot q_{1} + r_{1}

, die erste Division mit Rest,
wobei

q_{1} = x + 1

und

r_{1} = x^{2} - 1

war.
Die nächste Division mit Rest war

g = r_{1} \cdot q_{2} + r_{2}

,
wobei

q_{2} = x

und

r_{2} = x + 1 = g g T (f, g)

war.
Also ist

g g T (f, g) = r_{2} = g - r_{1} \cdot q_{2} = g - (f - g \cdot q_{1}) \cdot q_{2} = - q_{2} \cdot f + (1 + q_{1} q_{2}) \cdot g =

= - x \cdot f + (x^{2} + x + 1) \cdot g

.

Gruß ermanus

KikiS

20:45 Uhr, 07.09.2018

Hallo ermanus,
ich danke Dir für Deine Antwort.

Die Lösung war ja zum Greifen nahe, nur ich hatte irgendwie nicht die Idee rückwärts zurechnen.
Ich komme nun auf das selbe Ergebnis.

Ich wünsche einen schönen Abend und ein schönes Wochenende.
Gruß Kiki

KikiS

20:45 Uhr, 07.09.2018

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