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ggt und Primfaktorzerlegung von Summationszeichen?

Universität / Fachhochschule

Tags: Binomialverteilung, Binomischer Lehrsatz, ggT, Primfaktorenzerlegung, Sigma, Summenzeichen

anonymous

15:09 Uhr, 12.11.2023

Hallo ein Ersti hier der um Hilfe bittet.
Bei der ersten Aufgabe mit dem ggT denk ich mal das der erste Term der der ggT ist von beiden, da ich ich ihn ja durch beide erfolgreich teilen kann. Und bei der zweiten Teilaufgabe weiß ich ,dass ich den Binomischen Lehrsatz anwenden muss, aber wie krieg ich dann den ggT von zwei Termen mit Variablen als Exponent raus ? Ich bin komplett überfordert, könnte mir bitte jemand einen Denkanstoß geben.(In der Vorlesung auf die das Übungsblatt basiert haben wir auch die Fibonacci Folge besprochen, aber die ist glaub ich nicht relevant zu Lösung dieser Aufgabe ,könnte mich aber natürlich täuschen.)

Vielen Dank für alle Hilfe im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bernoulli-Experimente
Rechnen mit Klammern
Teilbarkeit natürlicher Zahlen

HAL9000

15:16 Uhr, 12.11.2023

> Und bei der zweiten Teilaufgabe weiß ich ,dass ich den Binomischen Lehrsatz anwenden muss

Warum nicht auch bei der ersten? Wäre jedenfalls sehr empfehlenswert...

Zum Anregen der kleinen grauen Zellen: Es ist

\sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) 1^{k} 1^{n - k}

\sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) 4^{k} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) 4^{k} 1^{n - k}

.

> Bei der ersten Aufgabe mit dem ggT denk ich mal das der erste Term der der ggT ist von beiden, da ich ich ihn ja durch beide erfolgreich teilen kann.

Das ist falsch, wie du bereits durch bloßes Ausrechnen des einfachen Falls

n = 1

feststellen kannst.

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15:29 Uhr, 12.11.2023

Und wenn man es schafft, die Primfaktorzerlegungen der beiden durch Komma getrennten Zahlen zu ermitteln (was möglich ist mithilfe des letzten Kommentars), dann kennt man auch den ggT: Der ggT ist nämlich einfach das Produkt all derjenigen Primzahlen (mit passendem Exponenten), die in beiden Primfaktorzerlegungen auftreten. Was hier jedoch nicht allzu viele Primzahlen sind :-)

(z.B. ist

g g T (350, 550) = 50

, denn es ist

350 = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7

und

550 = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11

- in beiden Primfaktorzerlegungen tritt

2 \cdot 5 \cdot 5 = 50

auf.)

calc007

16:49 Uhr, 12.11.2023

Du bist auf der falschen Spur.
Es sollte doch helfen, wenn du mal die Terme (vor und nach dem Komma) ein wenig vereinfachst.

Der erste

\sum (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})

ist eigentlich altbekannt, den kannte ich auswendig.

Sonst - hatte dir ja HAL schon Hinweis gegeben.
Oder mein Tipp:
de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient
unter "Vandermondesche Identität".

HAL9000

17:14 Uhr, 12.11.2023

@calc007

Das irritiert mich jetzt etwas: Wo siehst du hier die Anwendung der Vandermondeschen Identität?

calc007

18:01 Uhr, 12.11.2023

Ob die Formel selbst noch zur 'Vandermondeschen Ientität' zählt, will ich nicht steif behaupten.
Sie findet sich im Wiki aber unter dieser Überschrift.

HAL9000

18:06 Uhr, 12.11.2023

Da hast du wohl etwas schnell drüber hinwegelesen: Dort steht, dass

{(1 + x)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) x^{k}

ZUM Beweis der Vandermondeschen Identität

\sum_{j = 0}^{k} (\begin{array}{c} m \\ j \end{array}) (\begin{array}{c} n \\ k - j \end{array}) = (\begin{array}{c} m + n \\ k \end{array})

genutzt wird...

calc007

18:09 Uhr, 12.11.2023

Vielleicht hast auch du ein wenig schnell drüber gelesen.
Ich hatte dem Teilnehmer einfach diesen Tipp zum Formel-Auffinden gegeben.

HAL9000

18:17 Uhr, 12.11.2023

Nun, wenn jemand den Tipp gibt, man solle "unter Vandermondesche Identität" nachschauen, dann versteh ich das so, dass dieser jemand auch die Vandermondesche Identität meint. Ansonsten wäre es schon SEHR missverständlich ausgedrückt.

calc007

18:21 Uhr, 12.11.2023

Mein Tipp lautete ja auch (wörtlich)
unter dem Link
de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient
unter der Überschrift
'Vandermondesche Identität'
zu guggen.
:-)
Ich glaube, das ist nun genug der etwas müsigen Diskussion.

HAL9000

18:53 Uhr, 12.11.2023

Ja, dann bleibt wohl jeder bei seiner Meinung.

Randolph Esser aktiv_icon

19:59 Uhr, 12.11.2023

g g T (\sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}), \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) 4^{k})

= g g T (2^{n} {,5}^{n}) = 1

für alle

n \in N

22 \cdot g g T (\sum_{k = 0}^{2 n} (\begin{matrix} 2 n \\ k \end{matrix}) {(- 27)}^{k} 82^{n - k}, \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) 187^{k} 209^{n - k})

= 22 \cdot g g T (55^{2 n} {,396}^{n}) = 22 \cdot g g T (5^{2 n} \cdot 11^{2 n} {,2}^{2 n} \cdot 3^{2 n} \cdot 11^{n})

= 2 \cdot 11^{n + 1}

für alle

n \in N

.

Bonus-Spezial-Unterfangen:

Bestimme

5 \cdot k g V (\sum_{k = 0}^{3 n} (\begin{matrix} 3 n \\ k \end{matrix}) 20^{k}, \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) 111^{k})

anonymous

20:40 Uhr, 12.11.2023

Danke an all die Leute die geantwortet haben ,eure Antworten haben mir alle sehr weitergeholfen :-)

anonymous

20:45 Uhr, 12.11.2023

Das erste Ergebnis deckt sich mit meiner Lösung, aber bei der zweiten Aufgabe bin anscheinend irgendwo falsch abgebogen...Ich hab nämlich nur ein stumpfes

11

als ggT rausbekommen und nach der Primfaktor Zerlegung bekam ich

242 = 2 \cdot 11 \cdot 11

raus..(ich hab aber auch die Exponenten vernachlässigt weil ich nicht genau wusste was ich mit denen Anstellen soll)

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20:57 Uhr, 12.11.2023

Haben Sie auch noch herausgefunden, dass es sich um den

g g T (5 5^{2 n}, 39 6^{n})

handelt? Die Primfaktorzerlegungen dieser beiden Zahlen lauten

5 5^{2 n} = (5 \cdot 11)^{2 n} = 5^{2 n} \cdot 1 1^{2 n}

sowie analog

39 6^{n} = (2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 11)^{n} = 2^{2 n} \cdot 3^{2 n} \cdot 1 1^{n}

.

In beiden Primfaktorzerlegungen tritt

1 1^{n}

(und nicht mehr als das) auf, also ist dies der ggT. Zuletzt ist

22 \cdot g g T (5 5^{2 n}, 39 6^{n}) = 22 \cdot 1 1^{n} = 2 \cdot 11 \cdot 1 1^{n} = 2 \cdot 1 1^{n + 1} .

wie Sie auf

242

gekommen sind, kann ich ehrlicherweise nicht nachvollziehen

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21:03 Uhr, 12.11.2023

Dass

1 1^{n}

wirklich in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, also der ggT ist, kann man sich auch visualisieren durch folgende Darstellung:

5 5^{2 n} = \dots = 5^{2 n} \cdot 1 1^{2 n} = 5^{2 n} \cdot 1 1^{n} \cdot 1 1^{n}

Randolph Esser aktiv_icon

21:36 Uhr, 12.11.2023

Lösung meiner Bonusaufgabe:

2^{4 n} \cdot 3^{3 n} \cdot 5 \cdot 7^{3 n}

für alle

n \in N

.

Als Anhang noch was zu

g g T

und

k g V

1578366

1578316

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