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ggt zweier Polynome

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Körper

Tags: Körper, polynom

 
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jugi08m1

jugi08m1 aktiv_icon

15:04 Uhr, 11.01.2023

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Guten Tag, das hier ist mein erster Beitrag in diesem Blog, ich hoffe, dass mir jemand helfen kann :-)

Ich habe folgende Aufgabe:

Für zwei Polynome p,q ∈ K[t] \{0} nennen wir ein monisches Polynom g ∈ K[t] den größten
gemeinsamen Teiler von p und q, kurz geschrieben g= ggT( p,q), wenn g|p und g|q gelten
und der Grad von g maximal ist.

1: Zeigen Sie, dass g= ggT( p,q) existiert und eindeutig ist

2: Zeigen Sie, dass es zwei Polynome s1,s2 ∈ K[t] gibt, die
p · s1+q · s2=g erfullen.


PS: Im skipt steht:
"Das charakteristische Polynom PA von A ∈ Rn,n hat somit stets den Grad n. Der Koeffizient von tn ist gleich 1 ∈ R. Ein solches Polynom heißt monisch."

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
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michaL

michaL aktiv_icon

18:53 Uhr, 11.01.2023

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Hallo,

also, ein Beweis dessen kann auf verschiedenen Ebenen erfolgen. Daher stellt sich die Frage, was ihr schon verwenden dürft.

Ist etwa bekannt, dass Polynomringe über Körpern euklidisch sind?
Oder wenigstens Hauptidealringe?

Wenn man das alles nicht verwenden darf, dann kann man natürlich beweisen, dass es gilt.
Alternativ kann man den erweiterten euklidischen Algorithmus darauf laufen lassen. Den müsste man nur hinreichend formalisieren, der tut dann sowohl 1:, als auch 2:.

Also: Wo steht ihr in der Vorlesung gerade?

Mfg Michael
jugi08m1

jugi08m1 aktiv_icon

19:34 Uhr, 11.01.2023

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Hallo MichaL, danke für deine Antwort.
Wir hatten zwar nicht, dass Polynomringe über Körpern euklidisch sind, jedoch lässt sich das ja beweisen. Das würde ich dann wohl selbst nachweisen, Hilfe bräuchte ich dann nur noch bei der 1 und 2 :-)
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

20:16 Uhr, 11.01.2023

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Hallo,

vielleicht ist ein direkter Weg umständlich, aber letztlich einfacher...

Seien p,q∈K[t]\{0} normierte Polynome (ich finde den Begriff monisch dafür immer noch gewöhnungsbedürftig).

Seien Tp und Tq die Teilermengen von p bzw. q, d.h. etwa Tp:={r∈K[t]∣;r∣p}.
Wegen 1∈Tp,Tq ist Tp∩Tq≠∅.
Da der Grad von Teilern von p maximal dem Grad von p entspricht, gibt es also ein Element in Tp∩Tq mit maximalem Grad.
Ich würde es mit dem als dem ggT probieren wollen. Gerne auch das normiertes Polynom.
(Das wäre dann die Existenz.)

Zur Eindeutigkeit: Hattet ihr da vielleicht kürzlich so ein Ergebnis, wie folgendes: Gelte für zwei normierte Polynome a,b die Relation a∣b∣a. Dann gilt a=b.
Beweis über Einheiten: a∣b⇔∃c:b=c⋅a
Analog umgekehrt: b∣a⇔∃d:a=d⋅b
Heißt zusammen: a=d⋅b=dc⋅a, d.h. es gilt dc=1, d.h. d,c sind Einheiten in Polynomring. (Weißt du, welches die Einheiten im Polynomring K[t] sind?)

Damit gilt a=d⋅b mit d∈K*.
Da aber b (auch) normiert ist, folgen d=1 und a=b.
(Das wäre die Eindeutigkeit.)

2. kann man gut mit Idealen formulieren:
Ist g ein ggT von p und q, so gilt (p)+(q)=(g).
Das ist die Aussage des Lemmas von Bezout. (Falls du danach suchen magst.)

Mfg Michael
jugi08m1

jugi08m1 aktiv_icon

13:54 Uhr, 12.01.2023

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Hallo MichaL,

vielen Dank für deine Antwort! Könntest du "2" etwas konkreter erklären, ich konnte dem jetzt nicht ganz folgen (habe auch nach dem Lemma recherchiert).

Frage beantwortet
jugi08m1

jugi08m1 aktiv_icon

15:17 Uhr, 12.01.2023

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Alles gut, habe es verstanden, vielen vielen Dank!