Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » gleichmäßig beschränkt oder gleichgrad. stetig?

gleichmäßig beschränkt oder gleichgrad. stetig?

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Schurli aktiv_icon

08:03 Uhr, 26.10.2015

Untersuche, ob die folgenden Mengen von Funktionen

{f_{n} ∣ n \in ℕ}

gleichgradig stetig und ob sie gleichmäßig beschränkt sind.

(1)

f_{n} : [1, 2] \to ℝ, f_{n} (x) = e^{- n x}

(2)

f_{n} : [0, 1] \to ℝ, f_{n} (x) = x^{n}

(3)

f_{n} : ℝ \to ℝ, f_{n} (x) := n

Meine Frage dazu: Muss ich hier wirklich für jedes einzelne die Definitionen nachweisen oder gibt es dafür auch charakteristische Sätze? Der Nachweis vermöge der Definitionen scheint mir ziemlich aufwendig und tricky.

Hat Jemand vielleicht eine bessere Idee, die er mit mir teilen könnte? :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

08:17 Uhr, 26.10.2015

"Meine Frage dazu: Muss ich hier wirklich für jedes einzelne die Definitionen nachweisen oder gibt es dafür auch charakteristische Sätze?"

Nein.

"Der Nachweis vermöge der Definitionen scheint mir ziemlich aufwendig und tricky."

Deine Einschätzung ist falsch, es geht meistens recht einfach.

Schurli aktiv_icon

08:23 Uhr, 26.10.2015

Okay, dann probieren wir mal zusammen die gleichgradige Stetigkeit bei (1):
Zeigen muss ich:

\forall ε > 0 \exists δ = δ (ε) \forall x, y \in [1, 2] : ∣ x - y ∣ < δ \Rightarrow ∣ ∣ e^{- n x} - e^{- n y} ∣ ∣ < ε \forall n \in ℕ

∣ e^{- n x} - e^{- n y} ∣ < ∣ e^{- n} - e^{- n y} ∣

Diese Abschätzung gelang dadurch, dass man bedenkt, dass ja

x \leq 1

sein muss. Aber wie mach ich jetzt weiter? Wenn ich für

y

das gleiche tu, steht doch 0 da! Aber mein

ε

muss doch größer als 0 sein!

Kannst du mir da weiterhelfen?

DrBoogie aktiv_icon

08:31 Uhr, 26.10.2015

"Diese Abschätzung gelang dadurch"

Ne, die Abschätzung ist falsch. Würde sowieso nichts bringen.
Was bringt etwas, ist die Tatsache, dass

e^{- n x} = (e^{- x})^{n}

.
Denn

∣ a^{n} - b^{n} ∣ \leq C ∣ a - b ∣

für

a, b \in [0, 1]

und eine feste Konstante

C

,
denn

x^{n}

ist Lipschitz auf

[0, 1]

Schurli aktiv_icon

08:36 Uhr, 26.10.2015

Bin etwas verwirrt, wie kommst du auf das Interval

[0, 1]

statt - wie verlangt - das intervall

[1, 2]

zu verwenden? Kann man etwa aus deinem Intervall das richtige machen? Aber wie soll ich bitte die Grenzen jeweils um 1 nach rechts verschieben?

Schurli aktiv_icon

08:45 Uhr, 26.10.2015

Ahh, okay, du hast einfach überlegt, dass

e^{- x}, e^{- y} \in [0, 1] \forall x, y \in [1, 2]

gilt! :-)

Schurli aktiv_icon

08:56 Uhr, 26.10.2015

Aber wo baue ich die Voraussetzung ein, dass

∣ x - y ∣ < δ

gilt?

Ich hab jetzt da stehen:

∣ \frac{1}{e^{n x}} - \frac{1}{e^{n y}} ∣ \leq C ∣ \frac{1}{e^{x}} - \frac{1}{e^{y}} ∣

und wir wissen, dass

∣ x - y ∣ < δ,

aber wie bauen wir das da ein? :S

DrBoogie aktiv_icon

10:24 Uhr, 26.10.2015

Ich hatte leider falsche Begründung für

∣ a^{n} - b^{n} ∣ \leq C ∣ a - b ∣

, denn ich brauche, dass

C

von

n

unabhängig ist, Lipschitz alleine reicht da nicht.
Die Aussage ist immer noch wahr, muss nur anders bewiesen werden.
In Wirklichkeit lässt sich sogar das beweisen:

∣ a^{n} - b^{n} ∣ \leq ∣ a - b ∣

für alle

n

und alle

a, b \in [0, 1]

.
Den Beweis kann ich später aufschreiben, wenn nötig.

Wenn das aber bekannt ist, haben wir

∣ e^{- n y} - e^{- n x} ∣ \leq ∣ e^{- y} - e^{- x} ∣

für alle

n

und alle

x, y

aus

[1, 2]

und es bleint nur die gleichmäßige Stetigkeit von

e^{- x}

zu nutzen (stetige Funktion auf einer kompakten Menge ist gleichmäßig stetig, siehe de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Heine). Das heißt, Du wirst für ein

ɛ

kein konkretes

δ

angeben müssen, denn so ein

δ

wird Dir die gleichmäßige Stetigkeit von

e^{- x}

bringen.

Schurli aktiv_icon

10:43 Uhr, 26.10.2015

Ich versuch mal den Beweis deiner ersten Aussage:
Wegen

x, y \in [1, 2]

\folgt

a := e^{- x}, b := e^{- y} \in [0, 1] .

Daher können wir abkürzend schreiben:

∣ e^{- n x} - e^{- n y} ∣ = ∣ a^{n} - b^{n} ∣ = ∣ (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + \dots + a b^{n - 2} + b^{n - 1}) =

= ∣ a - b ∣ ∣ \sum . . . ∣ \leq ∣ a - b ∣ = ∣ e^{- x} - e^{- y} ∣ < ε

(die Abschätzung nach oben gilt, da sämtliche Potenzen von Zahlen aus

[0, 1]

erst recht kleiner als 1 werden. )
Wie ist nun das (nur von

ε

abhängige)

δ

zu wählen?

DrBoogie aktiv_icon

10:49 Uhr, 26.10.2015

"die Abschätzung nach oben gilt, da sämtliche Potenzen von Zahlen aus erst recht kleiner als 1 werden."

Das heißt aber nicht, dass die Summe kleiner als

1

ist. Dieser Beweis funktioniert nicht.

"Wie ist nun das (nur von abhängige) zu wählen?"

Wie gesagt, da nutzt Du, dass

e^{- x}

gleichmäßig stetig ist. Das heißt, Du wählst nichts explizit, Du sagst nur: für ein epsilon existiert ein delta ...

Schurli aktiv_icon

11:10 Uhr, 26.10.2015

Wie könnte dieser Beweis denn dann gelinge, hast du da eine Beweisidee (wie, wenn nicht über diese hornersche Zerlegung?)?

Klar ist, dass

0 < δ < 1

git (folgt sofort aus der Voraussetzung

∣ a - b ∣ < δ

).
Wenn ich nun die glm. Stetigkeit der

f_{n} (x)

benutze, dann wird schnell

∣ e^{- x} - e^{- y} ∣ < ε .

Meinst du das in etwa so?

DrBoogie aktiv_icon

11:15 Uhr, 26.10.2015

Woher kommt jetzt plötzlich

f_{n}

?

Der Beweis von

∣ a^{n} - b^{n} ∣ \leq ∣ a - b ∣

für

a, b

aus

[0, 1]

:

Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann man

a < b

annehmen,
dann gilt

∣ a^{n} - b^{n} ∣ = b^{n} ∣ (\frac{a}{b})^{n} - 1 ∣ = b \cdot b^{n - 1} (1 - (\frac{a}{b})^{n}) \leq b \cdot 1 \cdot (1 - \frac{a}{b}) = b - a = ∣ b - a ∣

Schurli aktiv_icon

15:59 Uhr, 26.10.2015

Na super, dann haben wir diesen Teil mal geschafft (wenn ich das noch richtig vermöge der Definition und dem Verweis auf deinen Satz aufschreibe).

Gleichmäßige Beschränktheit dürfte nur im algemeineren (funktionalanalytischen) Rahmen gelten, zumindest richten sich alle Dfinitionen die ich im Internet gefunden habe auf Operatornormen. Kennst du eine elementarere Definition?

DrBoogie aktiv_icon

16:02 Uhr, 26.10.2015

Die Definition steht sogar in Wiki:
de.wikipedia.org/wiki/Funktionenfolge,
unter "Gleichmäßige Beschränktheit"

Schurli aktiv_icon

16:13 Uhr, 26.10.2015

Aha, das heißt also:
Das wichtige an der Definition ist, dass man eine von

x

unabhängige Schranke finden kann, anders als bei der punktweisen Beschränktheit, bei der die Schranke im allgemeinen von

x

abhängt, denn wir haben es hier mit einer Funktionenfamilie zu tun!

Sei

F := {f_{n} : n \in ℕ}

unsere Funktionenfamilie.
Zu zeigen ist also:

\forall x \in [1, 2] \exists C = C (x) : ∣ ∣ e^{- n x} ∣ ∣ \leq C \forall n \in ℕ .

Aber etwas ähnliches haben wir doch vorher schon gezeigt, oder?

DrBoogie aktiv_icon

16:18 Uhr, 26.10.2015

Was wir gezeigt haben, ist egal, denn es ist sowieso offensichtlich, dass

∣ e^{- n x} ∣ \leq 1

für alle

n

und alle

x

aus

[1, 2]

Schurli aktiv_icon

16:26 Uhr, 26.10.2015

Achja, :-D) Na toll, dann geht das ja schneller als gedacht! :-)

Dann stürzen wir uns auf (2):

Zur gleichmäßigen Beschränktheit: Klar, denn

x \in [0, 1] \Rightarrow ∣ ∣ x^{n} ∣ ∣ \leq 1 \forall n \in ℕ .

Zur gleichgradigen (gleichmäßigen) Stetigkeit:
Dürfte ein einfaches Korrolar aus deiner (bewiesenen) Aussage sein, nur eben für anderes Anfangsintervall (und anderes Vorzeichen).

Zu (3):
Gleichmäßige Beschränktheit ist hier wohl (trivialerweise) auszuschließen, es ist ja nichtmal punktweise beschränkt!
Zur gleichgradigen Stetigkeit: Es hängt nur von

n

ab, hm... dann bin ich sofort bei 0! :O Ich weiß also nicht, wie das dann zu einem strengen Beweis formuliert werden kann.
Hast du da eine Idee?

DrBoogie aktiv_icon

17:19 Uhr, 26.10.2015

"Ich weiß also nicht, wie das dann zu einem strengen Beweis formuliert werden kann. "

Nun, ganz einfach. Für jedes

ɛ

existiert ein

δ = 1

(z.B.),
so dass

∣ f_{n} (x) - f_{n} (y) ∣ = 0 < ɛ

für alle

n

und alle

x, y

mit

∣ x - y ∣ < δ

ist. Damit gleichgradig stetig.

DrBoogie aktiv_icon

17:21 Uhr, 26.10.2015

"Zur gleichgradigen (gleichmäßigen) Stetigkeit"

Das schreibst Du lieber nicht, denn gleichgradig und gleichmäßig ist nicht dasselbe.

Dass

x^{n}

ist auf

[0, 1]

gleichgradis stetig ist, ist tatsächlich schon bewiesen,
das geht über

∣ x^{n} - y^{n} ∣ \leq ∣ x - y ∣

Schurli aktiv_icon

17:38 Uhr, 26.10.2015

Na supi! Und die Unbeschränktheit von (3) ist auch klar. Bleibt nur noch ein Argument, warum (3) gleichgradig stetig ist. Naja, ich denke hier zumindest ist gleichmäßige Stetigkeit mit gleichgradiger verwandt. Sie dürfte beides sein, die (3)er Funktion.

DrBoogie aktiv_icon

18:53 Uhr, 26.10.2015

"Bleibt nur noch ein Argument, warum (3) gleichgradig stetig ist."

Habe ich oben geschrieben, warum. Wo

∣ f_{n} (x) - f_{n} (y) ∣ = 0

steht.

Schurli aktiv_icon

19:06 Uhr, 26.10.2015

Ausgezeichnet, habe es gesehen, vielen Dank, hast mir bei diesem Aufgabentypus gut weitergeholfen! :-)

1262479

1262242

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?