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gleichmäßig konvexer Raum

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Tags: Banachraum, Sonstiges

 
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anonymous

anonymous

00:59 Uhr, 15.05.2012

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Hallo alle zusammen.

Ich versuche folgende Aufgabe zu lösen:

Wir haben einen gleichmäßig konvexen Raum, d. h. für jedes ε>0 existiert ein δ>0, so dass für alle x,y∈X mit ∥x∥=∥y∥=1 und ∥12(x+y)∥>1-δ bereits ∥x-y∥<ε gilt.

(i) Zeige, dass L1(R) und L∞(R) nicht gleichmäßig konvex sind.
(ii) Sei H Hilbertraum. Zeige, dass H glm. konvex ist. Hinweis: Benutze die Parallelogrammgleichung.

Ist die Definition der gleichmäßigen Konvexität hier richtig? In allen Skripten steht die Definition genau umgekehrt, also

∥x∥=∥y∥=1 und ∥12(x+y)∥≤1-δ und ∥x-y∥>ε.

Welcher ist denn die richtige Def.? Oder übersehe ich etwas? Kann ich auch den umgekehrten Fall nutzen, um die Beh. zu beweisen?

Danke euch im Voraus.

nubie

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
hagman

hagman aktiv_icon

15:43 Uhr, 15.05.2012

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Die erste Variante entspricht beispielweise der in Wikipedia (wo allenfalls abweichend in der Voraussetzung ||x||,||y||≤1 statt =1 steht, aber das schadet nichts).

Hast du die genaue Formulierung einer abweichenden Definition irgendwo online verfügbar?
Wenn ||x||=||y||=1 und ||x+y2||<1-δ, dann ist ja
||x-y||=2⋅||x-x+y2||≥2⋅(||x||-||x+y2||)=2δ.
Insofern ist die Bedingung
"Zu jedem ε>0 gibt es ein δ>0, so dass aus ||x||=||y||=1 und ||x+y2||<1-δ stets ||x-y||>ε folgt"
in jedem beliebigen normierten Raum erfüllt: Wähle jeweils δ=ε2
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