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gleichmäßig stetig+beschränkt=>punktweise beschr.

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Stetigkeit

Tags: Funktion, Stetigkeit

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22:47 Uhr, 18.10.2015

Punktweise beschränkt: für jedes

x \in X

ist

s u p {∣ f (x) ∣ : f \in Φ}

beschränkt

Wenn eine Teilmenge eines normierten Raumes beschränkt und gleichmäßig und gleichgradig stetig ist, bedeutet das dann, dass sie punktweise beschränkt sein muss? Wie zeigt man das?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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12:16 Uhr, 19.10.2015

Was heißt, dass eine Teilmenge eines normierten Raumes gleichgradig stetig ist?

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14:13 Uhr, 19.10.2015

Für jedes

x \in X

und

ε > 0

gibt es eine Umgebung

V \in U (x)

mit

∣ f (y) - f (x) ∣ < ε

für alle

y \in V, f \in Φ

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15:17 Uhr, 19.10.2015

Wo hast Du jetzt plötzlich Funktionen her?
Davor war die Rede von einem normierten Raum, da gibt's keine Funktionen.

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20:01 Uhr, 19.10.2015

Von dem was wir bis jetzt gelernt haben, gibt es in normierten Räumen Funktionen...außer ich habe das, was du geschrieben hast, falsch verstanden.

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20:09 Uhr, 19.10.2015

"Von dem was wir bis jetzt gelernt haben, gibt es in normierten Räumen Funktionen"

Das stimmt aber nicht. Es gibt normierte Räume, deren Elemente keine Funktionen sind, sondern z.B. Matrizen oder Folgen oder einfach Vektoren.

Was ich damit meine - Deine Frage ist unverständlich, daher formuliere sie sauber, wenn Du Unterstützung willst.

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20:36 Uhr, 19.10.2015

Ahh, ok.

Die eigentliche Aufgabe ist folgende:

"Zeigen Sie, dass für einen kompakten metrischen Raum K ein

Φ \subseteq C (K, ℝ)

genau dann total beschränkt ist, wenn

Φ

als Teilmenge des normierten Raumes

(C (K, ℝ), ∣ ∣ . ∣ ∣_{\infty})

beschränkt ist und wenn

Φ

gleichmäßig und gleichgradig stetig ist."

Ich habe mir gedacht, dass man die Rückrichtung mit dem Satz von Ascoli zeigen könnte.

Satz von Ascoli:

Sei (X,T) ein kompakter topologischer Raum und sei

Φ

eine punktweise beschränkte und gleichgradig stetige Teilmenge von

C_{b} (X, ℂ)

mit:

i) Für jedes

x \in X

ist

s u p {∣ f (x) ∣ : f \in Φ}

beschränkt (punktweise beschränkt)

ii) Für jedes

x \in X

und

ε > 0

gibt es eine Umgebung

V \in U (x)

mit

∣ f (y) - f (x) ∣ < ε

für alle

y \in V, f \in Φ

(gleichgradig stetig)

Und das Problem ist jetzt, dass

Φ

zwar gleichgradig stetig ist, die punktweise Beschränktheit aber nicht gleich aus der Angabe folgt. Also habe ich überlegt, ob man das vielleicht aus der Beschränktheit und den anderen Eigenschaften von

Φ

folgern könnte.

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21:13 Uhr, 19.10.2015

"die punktweise Beschränktheit aber nicht gleich aus der Angabe folgt"

Sie folgt sofort.
Wenn eine Menge

Φ

in der

∥ \cdot ∥_{\infty}

-Norm beschränkt ist, dann existiert ein

C > 0

, so dass

∥ f ∥_{\infty} = sup ∣ f (x) ∣ \leq C

für alle

f

aus

Φ

. Damit gilt natürlich auch

∣ f (x) ∣ \leq C

für jedes einzelne

x

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12:57 Uhr, 20.10.2015

Danke!

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