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gleichmaessige Konvergenz

Universität / Fachhochschule

Funktionenfolgen

Tags: Funktionenfolgen

 
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Ulrich1666

Ulrich1666 aktiv_icon

14:41 Uhr, 04.10.2021

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Ich verstehe gerade net, woher die gleichmaessige Konvergenz auf -S kommt.
Haben die etwa benutzt, dass
11+n2x=1n211/n2+x1n21x-1/n21n2x, sodass dann damit die absolute und gleichmaessige Konvergenz mit Weierstrass folgt und damit auch die Stetigkeit darauf?

Screenshot (133)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

15:23 Uhr, 04.10.2021

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Es wurde benutzt, dass für alle x aus I (ein abgeschlossenes Intervall, das disjunkt mit S ist) und alle n gilt
1x-1/n2supn,xI1x-1/n2=1infn,xIx-1/n2 und das ist eine feste Zahl, die nicht von x und n abhängt.

Das einzige, was noch fehlt, ist der Beweis, dass infn,xIx-1/n2>0 gilt, was aber einfach ist: wäre dieses Inf=0, dann hätten wir eine Folge xm aus I und eine Folge natürlicher Zahlen nm mit xm-1/nm20. Da I ein abgeschlossenes Intervall ist, xm hat eine konvergente Teilfolge xkm, deren Grenzwert (nennen wir ihn z.B. a) auch in I liegt. Damit konvergiert auch 1/nkm2 und zwar auch zu a. Die Folge 1/nkm2 kann aber nur zu 0 oder zu einer Zahl der Form 1/N2 konvergieren. Damit hätten wir a=0 oder a=1/N2. Beides geht aber nicht, denn a liegt in I und I hat weder 0 in sich noch die Zahlen 1/N2.
Frage beantwortet
Ulrich1666

Ulrich1666 aktiv_icon

15:32 Uhr, 04.10.2021

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Vielen Dank!