Startseite » Forum » gleichmaessige Konvergenz

gleichmaessige Konvergenz

Universität / Fachhochschule

14:41 Uhr, 04.10.2021

Ich verstehe gerade net, woher die gleichmaessige Konvergenz auf

ℝ - S

kommt.
Haben die etwa benutzt, dass

\frac{1}{∣ 1 + n^{2} x ∣} = \frac{1}{n^{2}} \frac{1}{∣ 1 / n^{2} + x ∣} \leq \frac{1}{n^{2}} \frac{1}{∣ ∣ x ∣ - 1 / n^{2} ∣} \leq \frac{1}{n^{2} x}

, sodass dann damit die absolute und gleichmaessige Konvergenz mit Weierstrass folgt und damit auch die Stetigkeit darauf?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

15:23 Uhr, 04.10.2021

Es wurde benutzt, dass für alle

x

aus

I

(ein abgeschlossenes Intervall, das disjunkt mit

S

ist) und alle

n

gilt

\frac{1}{∣ ∣ x ∣ - 1 / n^{2} ∣} \leq sup_{n \in ℕ, x \in I} \frac{1}{∣ ∣ x ∣ - 1 / n^{2} ∣} = \frac{1}{inf_{n \in ℕ, x \in I} ∣ ∣ x ∣ - 1 / n^{2} ∣}

und das ist eine feste Zahl, die nicht von

x

und

n

abhängt.

Das einzige, was noch fehlt, ist der Beweis, dass

inf_{n \in ℕ, x \in I} ∣ ∣ x ∣ - 1 / n^{2} ∣ > 0

gilt, was aber einfach ist: wäre dieses Inf=0, dann hätten wir eine Folge

x_{m}

aus

I

und eine Folge natürlicher Zahlen

n_{m}

mit

∣ x_{m} ∣ - 1 / n_{m}^{2} \to 0

. Da

I

ein abgeschlossenes Intervall ist,

x_{m}

hat eine konvergente Teilfolge

x_{k_{m}}

, deren Grenzwert (nennen wir ihn z.B.

a

) auch in

I

liegt. Damit konvergiert auch

1 / n_{k_{m}}^{2}

und zwar auch zu

a

. Die Folge

1 / n_{k_{m}}^{2}

kann aber nur zu

0

oder zu einer Zahl der Form

1 / N^{2}

konvergieren. Damit hätten wir

a = 0

oder

a = 1 / N^{2}

. Beides geht aber nicht, denn

a

liegt in

I

und

I

hat weder

0

in sich noch die Zahlen

1 / N^{2}

15:32 Uhr, 04.10.2021

Vielen Dank!

1542071

1542069

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?