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gleichung nach x auflösen

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra

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23:20 Uhr, 30.06.2009

also, ich habe hier eine gleichung welche nach

x

aufgelöst werden soll.

{log}_{2} (2 x) + {log}_{3} (3 x) = 1

jetzt hab ich geguckt was man umformen könnte.
zum beispiel so

{log}_{2} 2 + {log}_{2} x + {log}_{3} 3 + {log}_{3} x = 1

und jetzt weiß ich nicht mehr weiter:(

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09:17 Uhr, 01.07.2009

Es gibt ja die Möglichkeit einen Basiswechsel zu machen. Damit kannst du dann alles auf die gleiche Basis bringen.

\log_{a} (b)

\frac{\log_{c} (b)}{\log_{c} (a)}

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10:30 Uhr, 01.07.2009

die formel zur umrechnung hab ich auch schon gefunden, nur weiß ich nicht wie ich sie anwenden soll.

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12:42 Uhr, 01.07.2009

Du bringst entweder

\log_{3}

auf

\log_{2}

oder

\log_{2}

auf

\log_{3}

\log_{3} (3 x)

\frac{\log_{2} (3 x)}{\log_{2} (3)}

\log_{2} (2 x)

\frac{\log_{3} (2 x)}{\log_{3} (2)}

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13:11 Uhr, 01.07.2009

Ich hätte es so versucht.

\log_{2} (2)

= 1 und

\log_{3} (3)

= 1

\log_{2} (x)

\log_{3} (x)

+ 2 = 1 ->

\log_{2} (x)

\log_{3} (x)

= -1

\frac{\log (x)}{\log (2)}

\frac{\log (x)}{\log (3)}

= -1

Mit log(...) soll der normale Logarithmus gemeint sein, also ln im Taschenrechner.

\frac{\log (x)}{\log (2)}

\frac{\log (x)}{\log (3)}

= -1

\log (x^{\frac{1}{\log (2)}})

\log (x^{\frac{1}{\log (3)}})

= -1

\log (x^{\frac{1}{\log (2)} + \frac{1}{\log (3)}})

= -1

\log (x^{\frac{1}{\log (2)} + \frac{1}{\log (3)}})

\log (\frac{1}{e})

Jetzt kann man die Werte in den Logarithmen vergleichen. Also

x^{\frac{1}{\log (2)} + \frac{1}{\log (3)}}

\frac{1}{e}

x^{2.3529}

\frac{1}{e}

x = 0.6538

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20:58 Uhr, 01.07.2009

ich versteh nicht ganz warum du dann den natürlichen logarithmus benutzt.also der zur basis

e

.also eigentlich hab ich ab der dritten umformung ein verständnisproblem. ich kann nicht nachvollziehen was da passiert. könntest du das kurz kommentieren?
also ich bin soweit gekommen:

{log}_{2} x = \frac{{log}_{10} x}{{log}_{10} 3}

und

{log}_{3} x = \frac{{log}_{10} x}{{log}_{10} 3}

daraus folgt dann wie du schon geschrieben hast

1 + 1 + \frac{{log}_{10} x}{{log}_{10} 3} + \frac{{log}_{10} x}{{log}_{10} 3} = 1

woraus folgt dass

\frac{{log}_{10} x}{{log}_{10} 3} + \frac{{log}_{10} x}{{log}_{10} 3} = - 1

ist. nur komme ich bei mir auf den dekadischen logarithmus.
und weiter weiß ich nicht. was kann man denn mit

{log}_{10} x

machen?

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09:24 Uhr, 02.07.2009

Erstmal hast du einen kleinen Tippfehler bei

\log_{2} (x)

\frac{\log_{10} (x)}{\log_{10} (2)}

. Du hast im Nenner drei stehen.

Ich hab schon lange keinen Taschenrechner mehr zur Hand gehabt, aber auf dem Taschenrechner gibt es doch nur ln, also den Logarithmus zur Basis

e

und den

\log_{10}

, also zur Basis 10.

Man muss jetzt schauen das man die verschiedenen Basen auf die gleiche Basis bringt.

Ich rechne das mal mit dem dekadischen Logarithmus weiter.

\frac{\log_{10} (x)}{\log_{10} (2)}

\frac{\log_{10} (x)}{\log_{10} (3)}

= -1

Das ist soweit klar.

\log_{10} (2)

und

\log_{10} (3)

sind ja beides nur Zahlen und hängen nicht von x ab. Jetzt schreibe ich die Formel etwas um.

\frac{1}{\log_{10} (2)} \cdot \log_{10} (x)

\frac{1}{\log_{10} (3)} \cdot \log_{10} (x)

= -1

Das ändert erstmal nichts am Ergebnis. Jetzt benutzen wir das Logarithmusgesetz für eine Potenz.

n \cdot \log_{b} (c)

\log_{b} (c^{n})

Das liefert:

\log_{10} (x^{\frac{1}{\log_{10} (2)}})

\log_{10} (x^{\frac{1}{\log_{10} (3)}})

= -1

Jetzt benutzen wir das Logarithmusgesetz für Produkte.

\log_{b} (u \cdot v)

\log_{b} (u)

\log_{b} (v)

Das liefert:

\log_{10} (x^{\frac{1}{\log_{10} (2)}} \cdot x^{\frac{1}{\log_{10} (3)}})

= -1

Jetzt nehmen wir das Potenzgesetz.

a^{b} \cdot a^{c}

a^{b + c}

\log_{10} (x^{\frac{1}{\log_{10} (2)} + \frac{1}{\log_{10} (3)}})

= -1

\log_{10} (x^{5.4178})

= -1

Jetzt kannst du entweder die Gleichung nach x umstellen oder du machst die -1 auch noch zu einem

\log_{10}

Term. Also

\log_{10} (10)

= 1, daraus folgt das

\log_{10} (\frac{1}{10})

= -1 ist.

\log_{10} (x^{5.4178})

\log_{10} (\frac{1}{10})

Jetzt kannst du die Terme in den Klammern vergleichen ohne das umstellen mit

1 0^{x}

x^{5.4178}

\frac{1}{10}

Das liefert.

x = 0.6538

Hoffe das es jetzt verständlicher ist. Bei meinem ersten Post mit der Rechnung, müsste halt ab den dritten Schritt statt

\log

immer

\ln

stehen.

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10:14 Uhr, 02.07.2009

ey vielen vielen dank, die umformung ist zwar logisch, ich wäre aber allein nie darauf gekommen.
gruß

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10:17 Uhr, 02.07.2009

Ich musste zum Anfang auch erstmal überlegen wie das gehen soll. Aber irgendwann findet man einen Weg.

HP7289 aktiv_icon

10:24 Uhr, 02.07.2009

Äußerst umständlich.

{log}_{2} (2 x) + {log}_{3} (3 x) = 1

2 + {log}_{2} (x) + {log}_{3} (x) = 1

{log}_{2} (x) + {log}_{3} (x) = - 1

{log}_{2} (x) + \frac{{log}_{2} (x)}{{log}_{2} (3)} = - 1

{log}_{2} (x) \cdot (1 + \frac{1}{{log}_{2} (3)}) = - 1

{log}_{2} (x) = - \frac{1}{1 + \frac{1}{{log}_{2} (3)}}

x = 2^{- \frac{1}{1 + \frac{1}{{log}_{2} (3)}}} \approx 0.6538

626895

626638

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