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globale invertierbarkeit von funktionen zeigen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

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15:16 Uhr, 21.06.2013

hallo. ich habe folgende funktion:

f : ℝ^{2} \to ℝ^{2}, f (x, y) = (\begin{matrix} x + y^{2} \\ y + x^{2} + 2 x y^{2} + y^{4} \end{matrix})

1)

für welche

(x, y) \in ℝ^{2}

ist

f

lokal umkehrbar. berechne dort das differenzial der (lokalen) umkehrabbildung

2)

ist

f

global umkehrbar? falls ja, kann man die umkehrfunktion explizit angeben?

bei der

1)

hatte ich keine probleme mehr. aber bei der

2)

bin ich noch etwas unsicher. also erstens: stimmt folgende aussage?

f

global umkehrbar

\Leftrightarrow f

lokal umkehrbar & bijekitv

in den übungen wurde diese aufgabe nämlich so erkärt, ich frage mich jetzt, ob diese aussage allgemein gültig ist, oder obs da noch einen haken gibt. zweitens versteh ich den beweis für die surjektivität nicht ganz:

w = x + y^{2}

z = y + x^{2} + 2 x y^{2} + y^{4}

\Rightarrow y = z - w^{2} \Rightarrow x = w - {(z - w^{2})}^{2} \Rightarrow f^{- 1} (w, z) = (w - {(z - w^{2})}^{2}, z - w^{2}) \Rightarrow

surjektiv

ich versteh die umformungen, seh aber nicht ganz ein, weshalb das ein beweis für surjektivität sein soll.
und wäre die explizite angabe der umkehrfunktion simpel und einfach:

f^{- 1} (w, z) = (\begin{matrix} w - {(z - w^{2})}^{2} \\ z - w^{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

?

wäre froh um eine erklärung :-D)

pwmeyer aktiv_icon

16:51 Uhr, 21.06.2013

Hallo,

durch die Rechnung ist gezeigt, dass es für jedes

(w, z)

ein

(x, y)

gibt - und zwar eindeutig

-,

so dass

f (x, y) = (w, z)

. Also ist

f

bijektiv.

Die genaue Bedeutung von "global umkehrbar" musst Du in Deinem Skript nachschlagen, wahrscheinlich ist dafür nicht verlangt, dass

f

surjektiv ist.

Gruß pwm

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09:58 Uhr, 22.06.2013

hallo

ich hab im skript folgendes gefunden:

U \subset ℝ^{n}

offen,

f : U \to ℝ^{n}, f \in C^{1} (U, ℝ^{n}), V = f (U)

sei offen und

f

bijektiv aufs bild. weiter sei die umkehrabbildung

Ψ : V \to U \in C^{1} (V, ℝ^{n})

.
sind

x \in U, y = f (x) \in V,

dann gilt:

d Ψ (y) = {(d f (x))}^{- 1}

dann kommt der umkehrsatz

umkehrsatz:

U \subset ℝ^{n}

offen,

f \in C^{1} (U, ℝ^{n}), x \in U, d f (x)

invertierbar

(\Rightarrow det d f (x) \neq 0)

. dann existiert eine offen umgebung

U_{1}

von

x, U_{1} \subset U

mit:

(1)

f |_{U_{1}}

ist injektiv
(2)

V_{1} := f (U_{1})

ist offen

(3)

die umkehrabbildung

Ψ = {(f (U_{1}))}^{- 1} : V_{1} \to U_{1}

ist

C^{1}

also heisst das, die funktion braucht nur injektiv zu sein? aber dann könnte es ja werte aus dem wertebereich geben, die unter

f

nicht abgebildet werden, also eine definitionslücke der umkehrfunktion darstellen. dann wäre die funktion doch nicht mehr global umkehrbar, oder doch?

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