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gram schmidt verfahren

Universität / Fachhochschule

Tags: Rechnen

deborah93 aktiv_icon

18:02 Uhr, 26.05.2013

hallooo

ich verstehe das gram schnitt Verfahren nicht kann mir das jemand erklären

das sind vektoren

b 1 (6, - 3, 3) b 2 (6, 0, 4) b 3 (4, 0, 3)

danke

michaL aktiv_icon

18:34 Uhr, 26.05.2013

Hallo,

ein Beispiel wird auf
http//de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren#Beispiel
vorgerechnet.

Sicher kannst du das übertragen!

Mfg Michael

anonymous

19:09 Uhr, 26.05.2013

Ist ein Skalarprodukt (bzw. eine Norm) gegeben, oder soll das Standardskalarprodukt (bzw. die Standardnorm) verwendet werden?

Sorry, aber ein "gram schnitt Verfahren" kenne ich nicht.
Du meinst aber wohl das Gram-Schmidt-Verfahren.

Du hast eine Basis

{b_{1}, b_{2}, b_{3}}

vorgegeben.
Berechne eine Orthonormalbasis

{v_{1}, v_{2}, v_{3}}

durch Berechnung von:

v_{1} = \frac{b_{1}}{| | b_{1} | |}

w_{2} = b_{2} - 〈 v_{1}, b_{2} 〉 \cdot v_{1}

v_{2} = \frac{w_{2}}{| | w_{2} | |}

w_{3} = b_{3} - 〈 v_{1}, b_{3} 〉 \cdot v_{1} - 〈 v_{2}, b_{3} 〉 \cdot v_{2}

v_{3} = \frac{w_{3}}{| | w_{3} | |}

Dabei gilt übrigens für die Norm:

| | \cdot | | = \sqrt{〈 \cdot, \cdot 〉}

Das ist im Prinzip einfach nur Einsetzen und Ausrechnen.
Wenn es konkrete Probleme gibt, kannst du ja nochmal fragen.
Ansonsten werde ich dir wohl nicht viel helfen können, außer das komplett vorzurechnen, was ja wohl auch nicht Sinn der Sache ist.

Hier noch ein paar Informationen zum Gram-Schmidt-Verfahren:
Ziel des Gram-Schmidt-Verfahrens ist es ausgehend von einer Basis eines euklidschen oder unitären Vektorraums eine Orthonormalbasis dieses Vektorraums zu berechnen.

Idee:
Man zieht von einem Vektor den Anteil ab, der in Richtung der anderen Vektoren verläuft und normiert dann den Vektor auf 1.

Funktionsweise des Gram-Schmidt-Verfahrens:

Also beginnt man mit einem Vektor

b_{1}

der vorgegebenen Basis und normiert diesen auf 1:

v_{1} = \frac{b_{1}}{| | b_{1} | |}

Beim nächsten Vektor

b_{2}

zieht man den Anteil in Richtung

v_{1}

ab, welchen man über das Skalarprodukt berechnen kann:

w_{2} = b_{2} - 〈 v_{1}, b_{2} 〉 \cdot v_{1}

Der Vektor

w_{2}

muss somit orthogonal zu

v_{1}

sein, was sich leicht nachprüfen lässt, denn da

v_{1}

auf 1 normiert wurde folgt mit Hilfe der Linearität des Skalarprodukts im zweiten Argument:

〈 v_{1}, w_{2} 〉 = 〈 v_{1}, b_{2} - 〈 v_{1}, b_{2} 〉 \cdot v_{1} 〉 = 〈 v_{1}, b_{2} 〉 - 〈 v_{1}, b_{2} 〉 \cdot 〈 v_{1}, v_{1} 〉 = 〈 v_{1}, b_{2} 〉 - 〈 v_{1}, b_{2} 〉 \cdot 1 = 0

Nun wird auch

w_{2}

normiert:

v_{2} = \frac{w_{2}}{| | w_{2} | |}

Beim nächsten Vektor

b_{3}

zieht man den Anteil in Richtung

v_{1}

und

v_{2}

ab:

w_{3} = b_{3} - 〈 v_{1}, b_{3} 〉 \cdot v_{1} - 〈 v_{2}, b_{3} 〉 \cdot v_{2}

Nun wird auch

w_{3}

normiert:

v_{3} = \frac{w_{3}}{| | w_{3} | |}

Bei einem dreidimensionalen Vektorraum ist man nun fertig, ansonsten wechseln sich Orthogonalisierungs- und Normierungs-Schritte weiter ab.

{v_{1}, v_{2}, ...}

ist dann eine entsprechende Orthonormalbasis und damit das gesuchte Ergebnis.

Hier nochmal zusammenfassend der Algorithmus des Gram-Schmidt-Verfahrens:

v_{1} = \frac{b_{1}}{| | b_{1} | |}

w_{2} = b_{2} - 〈 v_{1}, b_{2} 〉 \cdot v_{1}

v_{2} = \frac{w_{2}}{| | w_{2} | |}

w_{3} = b_{3} - 〈 v_{1}, b_{3} 〉 \cdot v_{1} - 〈 v_{2}, b_{3} 〉 \cdot v_{2}

v_{3} = \frac{w_{3}}{| | w_{3} | |}

⋮

w_{n} = b_{n} - \sum_{k = 0}^{n - 1} 〈 v_{k}, b_{n} 〉 \cdot v_{k}

v_{n} = \frac{w_{n}}{| | w_{n} | |}

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