Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » gruppenoperation

gruppenoperation

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags:

pretty aktiv_icon

19:56 Uhr, 11.12.2008

Hallo,

Könnte jemand mir bitte helfen, ich komme mit der Frage nicht zurecht :(

$V = {I R}^{2}, G = {G l}_{2} (I R) u n d X = V^{2} = {x = (v_{1}, v_{2}); v_{i} \in V}$

1. Zeige , dass durch $G \times X \to X$ , $(A, (v_{1}, v_{2})) \mapsto (A v_{1}, A v_{2})$ eine Operation von G auf X definiert wird.

2. Bestimme die Menge aller Bahnen der Operation von G auf X, und wähle für jede Bahn

$B_{i} \subset X$ einen Vertreter $x_{i} \in B_{i}$ (Hinweis: benutze die Abbildung $X \to {I N}_{o}, (v_{1}, v_{2}) \mapsto \dim_{I R} (v_{1}, v_{2})$ )

3. Bestimme die Stabilisator $G_{x_{i}} \subset G$ der im zweiten Aufgabenteil gewählten Vertreter $x_{i}$ .

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Rentnerin

18:56 Uhr, 12.12.2008

Hallo pretty,

wenn Du willst, können wir versuchen, die Aufgabe gemeinsam zu lösen.

Gruß Rentnerin

pretty aktiv_icon

19:56 Uhr, 12.12.2008

Hallo Rentnerin,

Ich würde mich für deine Hilfe sehr freuen.

Ich weiss jetzt nicht wie ich anfangen soll.

grußßß...

Rentnerin

20:19 Uhr, 12.12.2008

Schauen wir uns erst einmal die Situation an.

Wir haben einen Vektorraum

V = R^{2}

, der ist überschaubar. Dann haben wir noch eine Gruppe

G = G l (2, R)

; das sind alle bijektiven linearen Abbildungen von

R^{2}

nach

R^{2}

bzw. alle

2 \times 2

-Matrizen, die invertierbar sind.

Die Menge

X

ist das Kreuzprodukt

X = R^{2} \times R^{2}

und darauf soll die Gruppe

G

operieren, und zwar

Ω : G \times (R^{2} \times R^{2}) \to R^{2} \times R^{2}

, mit

Ω (A, (v_{1}, v_{2})) = (A (v_{1}), A (v_{2}))

.

Ich habe unsere vermeintliche "Operation" mit

Ω

bezeichnet. Diese weist einer invertierbaren

2 \times 2

-Matrix und einem Paar von zwei Vektoren ein weiteres Paar von zwei Vektoren zu.

Sind wir uns da einig?

pretty aktiv_icon

12:07 Uhr, 13.12.2008

nach definition ist eine Operation der Gruppe G auf der Menge M eine Abbildung

$G \times M \to M, (g, m) \mapsto g (m)$

sodass folgendes gilt:

1. 1(m)=m für alle m $\in$ M

2. g'(g(m))=(g'g)(m)

Muss ich jetzt zeigen, dass diese beiden Eigenschaften auch für $Ω$ gilt?

Rentnerin

12:41 Uhr, 13.12.2008

Genau so ist es in Aufgabenteil 1 verlangt. Ich gehe davon aus, dass Dir klar ist, was das Einselement der Gruppe ist und wie die Verknüpfungen auszuführen sind.

pretty aktiv_icon

13:30 Uhr, 13.12.2008

Für die Aufgabenteil 1 habe ich:

1. E $\cdot$ x=x für alle x= $(v_{1}, v_{2})$ $\in$ X (E ist der Einheitsmatrix von G)

2. B(A(x))=B(A $\cdot$ x)=(B $\cdot$ A) $\cdot$ x=(B $\cdot$ A)(x) für alle A,B $\in$ G ,x $\in$ X

Bei der Augabenteil 2 kann ich mir unter einer Bahn nichts vorstellen.

Rentnerin

13:53 Uhr, 13.12.2008

Für den Aufgabenteil 1 würde ich Dir die Notation so vorschlagen:

E \in G

ist die

2 \times 2

-Einheitsmatrix und es gilt

Ω (E, (v_{1}, v_{2})) = (E (v_{1}), E (v_{2})) = (v_{1}, v_{2})

oder

E \circ (v_{1}, v_{2}) = (E (v_{1}), E (v_{2})) = (v_{1}, v_{2})

wenn Du die Verknüpfung mit

\circ

und nicht als Abbildung via

Ω

bezeichnen möchtest.

Ausführlich geschrieben gilt entsprechend

Ω (B, Ω (A, (v_{1}, v_{2}))) = Ω (B, (A (v_{1}), A (v_{2}))) = (B (A (v_{1})), B (A (v_{2}))) = ((B \cdot A) (v_{1}), (B \cdot A) (v_{2})) = Ω ((B \cdot A), (v_{1}, v_{2}))

oder

B \circ (A \circ (v_{1}, v_{2})) = B \circ (A (v_{1}), A (v_{2})) = (B (A (v_{1})), B (A (v_{2}))) = ((B \cdot A) (v_{1}), (B \cdot A) (v_{2})) = (B \cdot A) \circ (v_{1}, v_{2})

.

Ich melde mich heute Abend wieder.

Rentnerin

22:18 Uhr, 13.12.2008

Was ist eine Bahn?

Wenn Du für ein festes

x \in X

alle Elemente

g \circ x \in X

zusammenfasst, dann entsteht eine Teilmenge von

X

; das ist die zu

x

gehörende Bahn. Dabei können verschiedene Elemente dieselbe Bahn "durchlaufen". Die Bahnen bilden eine Zerlegung der Menge

X

.

In Aufgabenteil 2 sollst Du für die konkrete Verknüpfung die Zerlegung von

R^{2} \times R^{2}

durch diese Verknüpfung darstellen.

Ein Ausgangspunkt für eine Bahn ist ein Paar von Vektoren

(v_{1}, v_{2})

, welches allen invertierbaren Matrizen unterworfen wird. Die Ergebnisse sind wieder Paare von Vektoren und bilden die Bahn zum Ausgangspaar.

Für Paare von Vektoren kann man die gegenseitige Lage zueinander betrachten. Welche Möglichkeiten fallen Dir denn dazu ein?

pretty aktiv_icon

22:35 Uhr, 13.12.2008

erstmal danke für deine Mühe mir zu helfen:)

Irgendwie ist mir das ganze zu abstrakt, ich kann mir das ganze nicht richtig vorstellen.

Rentnerin

23:01 Uhr, 13.12.2008

Ist eigentlich gar nicht so tragisch, wenn Du Dir die gegenseitige Lage zweier Vektoren (im

R^{2}

) vergegenwärtigst. Das habt ihr doch in LA gehabt.

Sie können linear unabhängig sein. Wenn sie allerdings linear abhängig sind, können beide von

\vec{0}

verschieden sein oder einer von beiden kann

\vec{0}

sein oder beide können

\vec{0}

sein. Ist doch nicht schwer - oder?

pretty aktiv_icon

13:47 Uhr, 14.12.2008

ich habe das ganze jetzt so aufgeschrieben, wie ich es verstanden habe.

X= $\cup_{i \geq o}^{.} B_{i}$ , $B_{1 = {x_{1}} = (s v_{1}, s v_{2})}, B_{2 = {} x_{2} = (0 v_{1}, 0 v_{2})}, B_{3} = {x_{3} = (\vec{0}, v_{2})}, B_{4} = {x_{4} = (v_{1}, \vec{0})}$

ist eine Zerlegung von X in Bahnen unter der Op. von G: dann ist ein Vetreter z.B. ( ${(x_{i})}_{i \geq 0}, x_{1} = (s v_{1}, s v_{2})$

Rentnerin

15:54 Uhr, 14.12.2008

Also ich habe mir das so vorgestellt.

Zunächst nehme ich mir zwei beliebige linear unabhängige Vektoren

(v_{1}, v_{2})

, also z.B. konkret

({\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2})

die kanonische Basis des

R^{2}

. Wenn ich

G

darauf operieren lasse, erhalte ich die zugehörige Bahn. Aber

(A (v_{1}), A (v_{2}))

liefert doch wieder linear unabhängige Vektoren, weil

A

bijektiv ist. Du kannst sogar sagen, dass

(A (v_{1}), A (v_{2}))

alle möglichen Paare von linear unabhängigen Vektoren überhaupt liefert. Es gibt nämlich zu einer beliebigen Basis

(w_{1}, w_{2})

von

R^{2}

genau eine (bijektive) lineare Abbildung mit

w_{1} = A (v_{1}), w_{2} = A (v_{2})

.

Zwischenergebnis: Die Bahn eines beliebigen linear unabhängigen Paares

(v_{1}, v_{2})

ist die Menge aller linear unabhängigen Paare von Vektoren (Basen) des

R^{2}

B_{1} = {(w_{1}, w_{2}) \in R^{2} \times R^{2} ∣ w_{1}, w_{2}

linear unabhängig

}

und

x_{1} = ({\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2})

.

Siehst Du das auch so?

pretty aktiv_icon

20:35 Uhr, 14.12.2008

danke, jetzt ist mir die Aufgabe klarer geworden. Bei Aufgabenteil 3 habe ich für die Stabilisator von $x_{1}$ :

$G_{x_{1}} : = {A \in G | (A (\vec{e_{1}}), A (\vec{e_{2}})) = (\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}})}$ . Da $G_{x_{1}} \subset G$ eine Untergruppe ist, gilt:

$G_{x_{1}} = {E, A \circ B^{- 1}}$ , da $E \circ (\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}) = (E (\vec{e_{1}}), E (\vec{e_{1}})) = (\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}})$ und

$A, B \in G_{x} \Rightarrow A \circ (\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}) = B \circ (\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}) = (\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}) B^{- 1} \circ (\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}) = B^{- 1} \circ (B \circ (\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}})) = (B^{- 1} \circ B) \circ (\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}) = (\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}) \Rightarrow (A \circ B^{- 1}) \circ (\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}) = A \circ (B^{- 1} \circ (\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}})) = A \circ (\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}) = (A (\vec{e_{1}}), A (\vec{e_{2}})) = (\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}) = A \circ B^{- 1} \in G_{x_{1}}$

Rentnerin

20:54 Uhr, 14.12.2008

Nun einmal langsam.

Wir haben bisher eine einzige Bahn ermittelt. Natürlich können wir sofort den Stabilisator bestimmen.

Weil

x_{1} = ({\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2})

war, ist

G_{x_{1}} = {A \in G ∣ A \circ ({\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}) = ({\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2})}

.

Es gibt doch genau eine Abbildung, die die kanonische Basis auf sich selbst abbildet. Weisst Du welche?

557944

557226

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?