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gruppierten Median bestimmen. Formel unklar

Universität / Fachhochschule

Tags: Median, Statistik

ElectricEngineers aktiv_icon

14:53 Uhr, 22.07.2018

Hallo,
Ich soll den Gruppierten Median dieser Tabelle bestimmen:

x_{K}

f_{k}

f_{k} x_{k}

1 -- 1 -- 1
2 -- 2 -- 4
3 -- 4 -- 12
4 -- 5 -- 20
5 -- 4 -- 20
6 -- 2 -- 12
11 -- 1 -- 11
----------

\sum

--19 -- 80

Dafür habe ich folgende Formel gegeben:

Q_{2} = L_{Q 2} + c \frac{\frac{n}{2} - \sum f}{f_{Q 2}}

Ich weiß nicht genau wie ich diese Formel anwenden muss. Ich vermute das die folden Variablen wie folgt bedeuten:

L_{Q}

= im Buch steht"untere exakte Klassengrenze der KLasse, die den Median enthält". Was soll das bedeuten?

c

= "Breite des Klassenintervalls der Medianklasse" verstehe nicht was das bedeutet

n / 2

= N halbe, also die 19 durch 2, das ergibt 9,5. Ich glaube das ist richtig.

\sum f

= "Summe aller Häufigkeiten aller Klassen unterhalb der Medienklasse". Wieder hier keine Ahnung was damit gemeint ist.

f_{Q 2}

= "Häufigkeit der Medianklasse" Was soll das sein?

Könnte mir jemand ausfürlich die Formel erklären? Die Aufgabe würde ich dann selbstständig lösen.

Danke sehr

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Streumaß und Lagemaß

Roman-22

15:33 Uhr, 22.07.2018

Zunächst sollte dir klar sein, dass es hier um klassifizierte Daten handelt. Und jede Klasse hat ein bestimmte Breite und eine Ober- und eine Untergrenze.
So bedeutet zB der Eintrag

x_{3} = 3

und

f_{3} = 4

nicht, dass der Wert 3 genau vier mal aufgetreten ist, sondern dass vier Mal Werte im Bereich

2,5 \leq x < 3,5

aufgetreten sind.
Da über die Klasseneinteilung keine Informationen vorliegen, nehme ich eine symmetrische an.

Dann beginnen wir damit, den Median zu berechnen. Die Anzahl der Einträge ist

n = 19,

daher ist der Median der

10

. Wert der geordneten Zahlenliste

(\frac{n + 1}{2} = 10)

.

Anstelle der Spalte mit dem Produkt

x_{k} \cdot f_{k}

wäre in der Tabelle eine Spalte mit den kumulativen Häufigkeiten hilfreicher. Also mit der Summe aus allen Werten der Spalte

f_{k}

bis zur aktuellen Zeile.
Da würde dann in der Zeile

x_{3} = 3

der Wert 7 und in der Zeile

x_{4} = 4

der Wert

12

stehen.
Damit würden wir auf einen Blick sehen, das sich der

10

. Wert der Liste in der Klasse Nr. 4 befindet. Dass ist die Klasse mit den Grenzen

3,5

bis

4,5

. Die untere Grenze der Klasse in der sich der Median befindet ist also in eurer für mich etwas gewöhnungsbedürftigen Nomenklatur

L_{Q 2} = 3,5

.

Die Breite unserer Klassen ist

c = 1

. Die erste geht von

0,5

bis

1,5

. Die nächste von

x = 1,5

bis

x = 2,5

. Usw.

Den Ausdruck

\frac{n}{2} = 9,5

hast du ja selbst schon richtig identifiziert ;-)

\sum f

als Summe der absoluten Häufigkeiten der Klassen unter der Medianklasse ist die Summe aller

f_{k}

in den Klassen unter der vierten Klasse (denn dort haben wir ja den Median verortet. Also ist

\sum f = 1 + 2 + 4 = 7

.

Zu guter Letzt die Häufigkeit der Medianklasse, also der Klasse 4. Da steht in Tabelle der Wert

f_{4} = 5

. Also ist

f_{Q 2} = 5

.

Das alles zusammengestoppelt ergibt den Median dieser gruppierten Daten (der Median selbst ist ja nicht gruppiert, daher ist "gruppierter Median" eigentlich sprachlich falsch) mit

Q 2 = 3,5 + 1 \cdot \frac{9,5 - 7}{5} = 4

Zum nachlesen: www.univie.ac.at/ksa/elearning/cp/quantitative/quantitative-75.html

ElectricEngineers aktiv_icon

16:02 Uhr, 22.07.2018

Vielen Dank für die schnelle Antwort,
Jetzt hab ich aber noch 2 Unklarheiten. Und zwar woher erkenne ich ob es Klassifiziert oder Gruppiert ist? An dem c ? Denn c gibt doch einen bestimmten Wertebereich an, sowie z.B. von 1,5 bis 2,5 in dem vorherigen Beispiel, oder? Und jedesmal wenn von einer Häufigkeit, die einen bestimmten Wertebereich (in dem vorherigen Beispiel war das doch z.B von 1,5 bis 2,5) angibt, die Rede ist, dann hab ich doch eine Klassifikation. Da passt für mich irgendwas nicht zusammen. Entweder hab ich c oder Gruppierung falsch verstanden.
Bei dem folgenden Beispiel, wurde gesagt es sei eine Gruppierung, kannst du mir sagen warum?

xk -- fk
55 -- 2
60 -- 5
65 -- 9
70 -- 8
75 -- 6
80 -- 4
---------
sum 34

Danke sehr

Roman-22

16:47 Uhr, 22.07.2018

>

Und zwar woher erkenne ich ob es Klassifiziert oder Gruppiert ist? An dem

c

?
Aus deiner Liste allein ist das nicht ablesbar. Es könnte sich auch um einen 12-seitigen Würfel gehandelt haben und die Tabelle ist eine Statistik, wie oft die jeweilige Augenzahl geworfen wurde.
Da würde dann

x_{3} = 3

mit

f_{3} = 4

tatsächlich bedeuten, dass die Zahl 3 bei den

19

Würfen viermal geworfen wurde.

Dass es sich im gruppierte Daten handeln soll war nur dadurch erkennbar, dass du eben die Formel, die man bei gruppierten Daten verwendet, anwenden wolltest/solltest. Und nur in dieser Formel kommt eine Klassenbreite

c

vor.

>

Denn

c

gibt doch einen bestimmten Wertebereich an, sowie

z . B

. von

1,5

bis

2,5

Nein,

c

ist nicht der Bereich, sondern dessen Breite. Deine x_k-Werte haben alle voneinander den Abstand 1 (mit Ausnahme des letzten Werts), sodass die Annahme eine für alle Klassen gleichen Klassenbreite von 1 sinnvoll erscheint und ebenso die Annahme, dass der angegeben Wert

x_{k}

die Klassenmitte bezeichnen soll.

Im Falle des Würfels würde man ja den Median viel einfacher ermitteln, weil man da ja tatsächlich jeden der

19

Werte genau kennt und eindeutig feststellen, welcher davon der mittlere ist.

>

Bei dem folgenden Beispiel, wurde gesagt es sei eine Gruppierung, kannst du mir sagen warum?
Ja, weil es dazu gesagt wurde ;-)
Aus der Tabelle allein geht das ohne Zusatzinformation nicht hervor.

>

Und jedesmal wenn von einer Häufigkeit, die einen bestimmten Wertebereich

(\in

dem vorherigen Beispiel war das doch

z . B

von

1,5

bis

2,5)

angibt, die Rede ist, dann hab ich doch eine Klassifikation.
Ja, wenn dazu gesagt wird, dass es sich im Werte in einem Bereich handelt. So wie deine Tabellen gegeben sind ist das dort nicht ablesbar.

Beispiel:

Du sammelst ein paar Kiesel unterschiedlichster Größe auf und notierst ihren Durchmesser in mm: (Ich ordne gleich mal nach der Größe)

0,7

1,1

1,3

2,1

2,8

3,1

3,2

4,6

7,1

Der Median ist hier ganz klar der mittlere Wert

2,8

mm.
Wenn du tausende Steinchen gesammelt hättest wäre es aber trotzdem mühsam und unübersichtlich, jedes einzelne Datum zu berücksichtigen.
Also bilden wir Klassen. Kleine Kiesel sollen jene im Bereich(0;2) sein. Mittlere die in

(2; 4)

große sind die in

(4,6)

und riesengroße (naja) in

(6,8)

Das würde nun auf die Tabelle

(\begin{matrix} k & x_{k} & f_{k} \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 5 & 1 \\ 4 & 7 & 1 \end{matrix})

führen. Die Information über die genauen Durchmesser der Steinchen ist jetzt weg. Wir können sie nicht mehr alle der Größe nach anordnen und das mittlere nehmen. und dafür gibt es eben jetzt diese Formel, die dir Schwierigkeiten gemacht hat. Und mit dieser kommen wir nun auf den Median

2,75

dieser gruppierten Daten. Gar nicht mal so schlecht, wenn man bedenkt, dass die Gruppierung ja viel Information über die genauen Durchmesser über Bord geworfen hat.

Aus der Tabelle allein ist nun aber nicht ablesbar, dass es sich um gruppierte Daten handelt. Es könnte auch das Ergebnis des 9-maligen Drehens eines Zahlenrades mit 8 Feldern, die von

1 - 8

nummeriert sind (zufälligerweise sind die geraden Zahlen nie aufgetreten) sein. Oder aber das Ergebnis des Werfens mit einem Tetraeder-"Würfel", dessen Seiten mit

1,3,5,7

beschriftet sind.
Geworfen wurden hier in geordneter Reihenfolge die Zahlen

1,1,1,3,3,3,3,5,7

und der Median ist natürlich 3.

Wenn eine Tabelle klassifizierte Daten zeigt, sollte das dabei stehen und auch, ob die angezeigten x-Werte die Klassenmitte bezeichnen und ob es sich um eine konstante Klassenbreite handelt. Man kann bei der Klasseneinteilung ja auch unterschiedliche Klassenbreiten wählen - das kann manchmal auch sinnvoll sein.

ElectricEngineers aktiv_icon

17:20 Uhr, 22.07.2018

Alles klar Danke

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