Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » h◦(f+g)=(h◦f)+(h◦g)

h◦(f+g)=(h◦f)+(h◦g)

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Vektorraum

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
ethan

ethan aktiv_icon

21:13 Uhr, 17.01.2021

Antworten
Seien V,W und U Vektorräume über einem Körper K und seien
f,g:V → W und h,j:W → U lineare Abbildungen. Zeigen Sie: (i) h◦(f+g)=(h◦f)+(h◦g)
(ii) (h+j)◦f =(h◦f)+(j◦f)
und folgern Sie, dass für jeden Vektorraum V die Menge Hom(V, V) mit punktweiser Addition und Komposition einen Ring bildet.
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

13:04 Uhr, 18.01.2021

Antworten
Hallo,

wenn etwas über Abbildungen behauptet wird, muss / kann man oft auf ihre Definition zurückgreifen, also auf ihre Eigenschaft, Argumente auf Bilder abzubilden.

Hier wird beauptet: h∘(f+g)=(h∘f)+(h∘g), das heißt:

∀v∈V:  [h∘(f+g)](v)=[(h∘f)+(h∘g)](v).

Das zeigt man einfach durch Auswertung von linker und rechter Seite aufgrund der Definitionen:

[h∘(f+g)](v)=h{[f+g](v)} (Definition von ∘)
=h[f(v)+g(v)] (Definition von + bei Funktionen)
=h[f(v)]+h[g(v)] (Linearität von h)
=[h∘f](v)+[h∘g](v) (Definition von ∘)
=[(h∘f)+(h∘g)](v) (Definition von + bei Funktionen)

Gruß pwm
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.