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habe zwei fragen
Schüler Fachschulen, 10. Klassenstufe
Tags: Übriges
 
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hallo zusammen ich habe hier zwei fragen mit denen ich nich zurecht komme (entweder sitze ich voll auf dem schlauch oder bin einfach zu doof dafür) hoffe ihr könnt mir helfen im vorraus schon mal danke. 1. addieren sie möglichst geschickt alle natürlichen zahlen von 1 bis 110. 2. man sagt 9 hoch 9 sei die größte natürliche zahl, die man mit zwei ziffern schreiben kann. begründung |
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anonymous 15:45 Uhr, 05.03.2005 |
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Hallo Tom! Es war einmal vor langer Zeit (~1790) da lebte in einer Stadt ein völlig entnervter (Grundschul-)Lehrer. Eines morgens -- er hatte die letzte Nacht durchgefeiert -- gab er den Kindern folgende Aufgabe: "Addiert alle Zahlen von 1 bis 100." Er setzte sich vorne hin und dachte sich, dass er jetzt in aller Ruhe die Zeitung lesen könne. Er hatte sie gerade aufgeschlagen, da meldete sich Carl-Friedrich: "5050." Der Lehrer glaubte, der Bengel habe von seinem Lösungsblatt(?) abgeguckt, und verschärfte daraufhin die Aufgabe; sehr zum Leid der anderen Schüler. "Gut, wenn ihr es so wollt! Dann addiert ihr eben alle Zahlen von 1 bis 1000." Keine zwei Minuten später strahlte Carl-Friedrich -- er hatte die Lösung: "Das sind 500500, Herr Lehrer!" Für diese offensichtliche Missachtung seiner Autorität ließ der Lehrer Carl-Friedrich nachsitzen... Nach Mehrmaligem Rechnen erhielt auch der Lehrer das Ergebnis 500500 -- er brauchte dafür über einen Monat... -- Eine nette Anekdote aus dem Leben von Carl-Friedrich Gauß. Aber wie hat er das gemacht? sei a die erste Zahl der Summe; sei b die letzte Zahl der Summe; sei d die (konstante!) Differenz zwischen jeweils zwei Summanden; sei S die Summe aller Summanden. Die Summe lässt sich wie folgt darstellen: S = a + (a+d) + (a+d+d) + ... + (b-d-d) + (b-d) + b Da die Addition kommutativ ist, kann man aber die Summanden auch in anderer Reihenfolge schreiben: S = b + (b-d) + (b-d-d) + ... + (a+d+d) + (a+d) + a Stehen nun beide Formen untereinander, kann man sie auch einfach komponentenweise addieren: S = a + (a+d) + (a+d+d) + ... + (b-d-d) + (b-d) + b S = b + (b-d) + (b-d-d) + ... + (a+d+d) + (a+d) + a ----------------------------------------------------------------------------------------- 2S = (a+b) + (a+b) + (a+b) + ... + (a+b) + (a+b) + (a+b) A-HA! Auf der rechten Seite steht jetzt immer der gleiche Summand -- also müssen wir nur noch wissen, wieviele Summanden dort stehen, dann können wir daraus eine Multiplikation machen... -- von 1 bis b sind es genau b Zahlen. -- davon müssen wir die Zahlen von 1 bis a abziehen !!ACHTUNG!! a gehört aber zur Summe ==> ein Summand mehr! -- nun ist aber nicht jede Zahl zwischen a und b ein Summand von S. Nur die im Abstand d voneinander. Also müssen wir die Anzahl der Zahlen von a bis b durch d dividieren. ==> Anzahl der Summanden: (b-a)/d +1 EINSETZEN: 2S = (a+b) * ((b-a)/d +1) 2S = ((a+b)*(b-a)/d + (a+b)) //:2 S = ((b²-a²)/d + (a+b))/2 So, jetzt mal die Zahlen aus Aufgabe 1) einsetzen: a = 1 b = 110 d = 1 ==> S = ((110²-1²)/1 + (1+110))/2 S = (12099 + 111)/2 S = 12210/2 S = 6105 Gruß, Christian |
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anonymous 15:47 Uhr, 05.03.2005 |
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1. Der kleine Gauß hats uns in der Schule vorgemacht. Überleg mal, ob du immer Zweier-Pärchen aus den Zahlen zwischen 1 und 110 bilden kannst, so dass, wenn du die zusammenaddierst, immer das gleiche rauskommt. Denkanstoß... 2. Ist das so? ist streng genommen 9!^9! nicht größer? |
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zu 2) wenn der vorschlag 9!^9! auch gilt, gehts einfacher mit einer ziffer: 9!!!! |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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