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hallo, habe eine extremwertaufgabe und komm nicht auf den ansatz?!?
Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Übriges
 
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anonymous 21:51 Uhr, 02.02.2004  |
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es geht um einen zaun, der bereits 100m lang ist, es wird folgend 200m zaun hinzugefügt, woraus ein rechteck entstehen soll , aus der wahl der seiten soll ich dann den gröst möglichsten flächeninhalt berechnen, aber wie komme ich auf die nebenbedingungen, die extremalbedingung lautet ja : A=a*b, und nun? danke... |
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Hallo, Vorbemerkung: Ich fasse die Aufgabe so auf: Eine Seite ist 100 Meter lang, diese soll um x Meter verlängert werden, also: a=100+x. Die andere nenne ich y, also b=y. Insgesamt stehen (100+200) Meter Zaun zur Verfügung, also: 2*(a+b)=300 bzw. äquivalent dazu: 2*(100+x)+2y=300) <=> (i) 2*(100+x+y)=300 (Rechteck besteht ja aus parallelen Seiten). Dies ist deine Nebenbedingung. Sollte ich die Aufgabe falsch interpretiert haben, so sag bitte Bescheid, ich rechne das ganze jetzt so mal durch... (Leider ist mir nämlich unklar, wie die Aussage: "der bereits 100 Meter lang ist..." gemeint ist. Sind die 100 Meter schon auf beide Seiten verteilt, nur auf eine (davon gehe ich aus) oder wie auch immer...) Der Flächeninhalt berechnet sich nach der Formel: A(x,y)=(100+x)*y (Weil ja A=a*b.) Löse (i) nach y auf: y=50-x => A(x,y)=A(x)=(100+x)(50-x)=-x²-50x+500 Dies ist eine nach unten geöffnete verschobene Parabel. Der Scheitelpunkt dieser ist der gesuchte Extrempunkt, sofern die x-Koordinate >=0 ist. Entweder du löst das ganze nun mit p,q-Formel (siehe unten (*)) bzw. quadratische Ergänzung oder aber durch differenzieren: A'(x)=-2x-50=0 <=> x=-25 A''(x)=-2 => A''(-25)=-2 < 0 => A hat an x=-25 ein Maximum. (**) Außerdem ist die Flächeninhaltsfunktion A monoton fallend auf M:={x aus IR: x >= -25}. Also nimmt A sein Maximum für das kleinste x aus M an, welches >=0 ist. Dies ist gerade für x=0. Also gilt: A(maximal)=A(x=0)=(100+0)*(50-0)=1500 Die eine Seite des Zaunes soll also bleiben wie sie ist während die andere maximal gewählt werden muss, so dass der Umfang des Rechtecks 300 Meter nicht überbietet. Der maximale Flächeninhalt eines wie in der Aufgabe geforderten Rechteckes ist der Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seiten a=100, b=50, beträgt also 1500 Quadratmeter. (*): Ich biete dir noch 2 andere Möglichkeiten an, den (x-Wert des) Scheitelpunkt(es) der Parabel zu berechnen: (1) A(x)=-x²-50x+500 <=> A(x)=-(x+25)²+125 <=> A(x)-125=-(x+25)² => Scheitelpunkt: (-25, -(-125))=(-25,125) (2) Nullstellen von A: A(x)=0 <=> -x²-50x+500=0 <=> x²+50x-500=0 p,q-Formel => x_1,2=-25+-Wurzel(625+500) Arithmetisches Mittel von x_1,x_2: [(-25+Wurzel(625+500))+(-25-Wurzel(625+500))]/2=-50/2=-25 Also nimmt A Maximum an x=-25 an. Dies ist jedoch <= 0. Obige Begründung (**)liefert x=0. Viele Grüße Marcel |
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