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harmonisches Dreieck

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Tags: Didaktik

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22:33 Uhr, 18.05.2011

a) Leibniz hat das harmonische Dreieck (s. Aufgabe 17c) entwickelt, um Summen (Grenzwerte) von unendlichen Reihen zu berechnen. Seine Idee war die Folgende: wenn man eine unendliche Folge von Zahlen

a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, . . . .

hat und dazu die Differenzenfolge

b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, . . . .

bildet, wobei

b_{i} = a_{i} + a_{i} +_{1}

ist, dann gilt für die Summe der

b_{i} = \sum_{i = 1}^{\infty} b_{i} = a_{i} + a_{n} +_{1}

. Wenn nun die

a_{i}

eine Nullfolge bilden, dann ergibt sich:

\sum_{i = 1}^{\infty} b_{i} = a_{1}

.

Rechnen sie bitte nach, dass

\sum_{i = 1}^{\infty} b_{i} = a_{1} - a_{n} +_{1}

.
b) Die in a) dargestellte Idee hat Leibniz benutzt, um die (unendliche) Summe der reziproken Dreieckszahlen zu berechnen, eine Aufgabe, die Huygens ihm 1674 gestellt hatte. Die Dreieckszahlen sollten Sie aus der Vorlesung „Didaktik der Arithmetik“ kennen, es handelt sich um
die Zahlen

1, 3, 6, 10, . . ., \frac{n (n + 1)}{2}

Die Summe der reziproken Dreieckszahlen ist also .

1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + . . . + \frac{1}{\frac{n + 1}{2}}

+... .Der Wert dieser unendlichen Summe kann aus dem harmonischen Dreieck unmittelbar abgelesen werden, Sie brauchen nur die Folge der reziproken Dreieckszahlen zu finden (Achtung, sie sind etwas versteckt) und die zugehörige Folge deren Differenzenfolge die reziproken Dreieckszahlen sind.
c) Geben Sie eine unendliche Summe und ihren Grenzwerte an, die Sie einem der beiden
Differenzendreiecke entnehmen haben.

Würde mich freuen wenn mir jemand helfen würde

Danke

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