harmonisches und geometrisches Mittel

Hallo Zitrone,

ich gehe mal davon aus, dass du den Beweis für zwei Zahlen führen sollst.
Dann stelle die entsprechende Ungleichung auf:

${\displaystyle \frac{2\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\le \sqrt{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Jetzt kannst du im ersten Schritt durch Quadrieren die Wurzel beseitigen, danach den Bruch, anschließend kann man durch ab dividieren, dann rechnest du das Binom aus und subtrahierst auf beiden Seiten 4ab, und erhältst

${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\ge 0}$

Grüße

Hallo,

$$\begin{gathered} {\displaystyle \frac{2}{\frac{1}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+\frac{1}{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}=\frac{2}{\frac{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+\frac{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}=\frac{2}{\frac{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}=\frac{2\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\le \sqrt{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\iff \\ \frac{4{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}{{(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}^2}\le \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\iff \\ 4{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\le \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}^2\iff \\ 4\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\le {(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}^2\iff \\ 4\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\le {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+4\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2 \\ } \end{gathered}$$

Und den Rest solltest du selbst hinbekommen.

Grüße

hallo

mathemaus wieso hast du da am ende ${\displaystyle 4\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\le \mathrm{a²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+4\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

diese 4ab die stören mich weil das müssten doch eigentlich 2ab sein wenn man die binomische formel auflöst