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hinreichende und notwendige Bedingung finden

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Relationen

Tags: hinreichende Bedingung, Logarithmusgleichung, notwendige Bedingung, Relation.

opexa aktiv_icon

23:54 Uhr, 13.09.2017

Hallo zusammen
Ich komme bei einer Aufgabe einfach nicht weiter. Die Aufgabe lautet
Finde die hinreichende und notwendige Bedingung für folgende Gleichung. Wobei a ungleich 0,b und c sein soll.

\log_{c + b} a + \log_{c - b} a = 2 \times \log_{c + b} a \times \log_{c - b} a

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

sprtka aktiv_icon

10:46 Uhr, 14.09.2017

Man kann die Gleichung umformulieren zu einer Gleichung mit beliebiger Basis:

\frac{\ln a}{\ln (c + b)} + \frac{\ln a}{\ln (c - b)} = 2 \frac{\ln a}{\ln (c + b)} \frac{\ln a}{\ln (c - b)}

\frac{\ln a \ln (c - b) + \ln a \ln (c + b)}{\ln (c + b) \ln (c - b)} = 2 \ln a \frac{\ln a}{\ln (c + b) \ln (c - b)}

(\ln (c - b) + \ln (c + b)) \frac{\ln a}{\ln (c + b) \ln (c - b)} = 2 \ln a \frac{\ln a}{\ln (c + b) \ln (c - b)}

\ln (c - b) (c + b) = 2 \ln a

\ln (c ² - b ²) = \ln a ²

Ann

c ² - b ² > 0

c ² - b ² = a ²

Somit ist notwendige Bedingung

c ² - b ² > 0

bzw.

c > b

und

c + b \neq 1

und

c - b \neq 1

und hinreichende

c ² - b ² = a ²

opexa aktiv_icon

11:14 Uhr, 14.09.2017

Danke für die rasche Antwort
Aber ich verstehe nicht ganz wie man auf die erste Zeile kommt. Könntest du das vielleicht näher erläutern?

LG

DerDepp aktiv_icon

11:39 Uhr, 14.09.2017

Hossa :-)

Der Logarithmus von a zur Basis b wird geschrieben als

x = \log_{b} (a)

und ist als Lösung der Gleichung

a = b^{x}

definiert. Wenn du auf diese Gleichung den natürlichen Logarithmus

\ln (\dots)

anwendest, bekommst du:

a = b^{x} \Rightarrow \ln (a) = \ln (b^{x}) = x \cdot \ln (b) \Rightarrow x = \frac{\ln (a)}{\ln (b)}

Deswegen gilt:

\log_{b} (a) = \frac{\ln (a)}{\ln (b)}

Du musst dazu nicht unbedingt den natürlichen Logarithmus

\ln (\dots)

nehmen. Die Rechnung kannst du mit jedem Logarithmus

\log (\dots)

unabhängig von dessen Basis durchführen.

opexa aktiv_icon

11:47 Uhr, 14.09.2017

Achsoo

Danke viel mal. Die Aufgabe wäre gar nicht mal schwierig gewesen.

LG

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