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hnf in parameterform

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Tags: umwandeln, Vektorraum

realfilmkuh aktiv_icon

14:57 Uhr, 14.11.2009

$e 1 : \overset{⇀}{r} * 1 / \sqrt{14} (1, 2, - 3) = \sqrt{2 / 7}$ und $e 2 : \vec{r} * 1 / \sqrt{14} (3, - 1, 2) = \sqrt{5 / 7}$

die Klammer nach der Wurzel bedeutet, große Klammer und untereinander geschrieben...

Hallo,

ich habe keinen blassen Schimmer wie ich das von der HNF in die Parameterform umwandeln soll...

Hilfe!!!!!!! hat jemand eine Idee?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Astor aktiv_icon

15:03 Uhr, 14.11.2009

Hallo,
zuerst würde ich die HNF in allgemeine Normalenform umwandeln.

Also: bei 1.

\vec{x} * (1 / 2 / - 3) = \sqrt{\frac{2}{7}} * \sqrt{14} = 4

Nun sucht man sich irgendeinen Punkt der Ebene e.

Etwa A(0/2/0). Oder (4/0/0).

Dann sucht man zwei linear unabhängige Vektoren, die zu

\vec{n} = (1 / 2 / - 3)

senkrecht sind.

etwa:

\vec{u} = (3 / 0 / 1)

Gruß Astor

realfilmkuh aktiv_icon

15:46 Uhr, 14.11.2009

wie kommt man auf sowas?! ich wäre da im Leben nicht drauf gekommen...

aber es kommt doch 2 und nicht 4 raus...?!

hm danke für deine schnelle antwort, mal schauen wie ich jetzt weiter mache

Astor aktiv_icon

15:52 Uhr, 14.11.2009

Ja, du hast recht.
Es kommt 2 raus.

Dann ändert sich der Aufpunktvektor.

Das Skalarprodukt aus Normalenvektor und Aufpunktvektor muss halt 2 ergeben.

Man hat die Gleichung:

1 * x + 2 * y - 3 * z = 2

Das ist eine Gleichung mit 3 Unbekannten.
Dann kann ich 2 davon frei wählen.
Ich wähle y=z=0.
Das ist eine schöne Zahl.

Dann ergibt sich für x der Wert 2.

Bei den Richtungsvektoren analog.

Gruß Astor

michaL aktiv_icon

16:24 Uhr, 14.11.2009

Hallo Tim,

Wenn der Normalenvektor in keiner Komponente eine Null hat und das absolute Glied ebenfalls ungleich Null ist, dann gibt es eigentlich einen sehr schön kurzen und einprägsamen Weg, den ich als Schüler mir selbst überlegt hab. Ich hab das Dreiecksform genannt.

Nehmen wir mal dein Beispiel:

\frac{x + 2 y - 3 z}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{2}{7}}

. Zuerst würde ich durch

\sqrt{\frac{2}{7}}

teilen, wodurch (und das ist das Ziel) rechts eine 1 entsteht. In dem Fall:

\frac{x + 2 y - 3 z}{2} = 1

bzw.

\frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{- \frac{2}{3}} = 1

Diese letzte Form nennt man die Achsenabschnittsform. Im Nenner unter der jeweiligen Variablen erscheint derjenige Wert, bei dem die entsprechende Achse geschnitten wird (daher der Name). Beispiel:

\frac{x}{2}

, d.h. die

x

-Achse wird von der Ebene bei

(2 ∣ 0 ∣ 0)

geschnitten, die

y

-Achse bei

(0 ∣ 1 ∣ 0)

und eben die

z

-Achse bei

(0 ∣ 0 ∣ - \frac{2}{3})

. Aus diesen drei sehr einfach zu gewinnenden Punkten kann man schnell eine Parameterform aufstellen:
__(2)_ (-2)_(-2)
x=(0)+k(1)+m(0)
__(0)__(0)__(-2/3)

Sorry, wegen des ASCII, aber die entsprechenden TeX-Funktionen sind hier irgendwie noch nicht verfügbar.

Klar, wie das klappt? Wenn eine der Komponenten Null ist, dann gibt es keinen Schnittpunkt mit der entsprechenden Achse, dann erhält man aber den die Achse repräsentierenden Vektor als Richtungsvektor usw.

Nur eine Alternative.

Mfg MIchael

realfilmkuh aktiv_icon

17:12 Uhr, 14.11.2009

danke für die antwort, aber ich habe nen paar Verständnis Fragen.

was ist das absolute Glied in dem Fall und die Aufstellung in die Parameterform versteh ich

nicht bzw. kann man nicht nachvollziehen

Astor aktiv_icon

17:15 Uhr, 14.11.2009

er hat doch drei Punkte der Ebene gefunden. Daraus ergibt sich die 3 Punkte-Form und damit die Parameterform.
Gruß Astor

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