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höhenlinien und schnitte zeichnen

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Funktionen

Tags: Definitionsbereich, Funktion, Funktion mehrerer Variablen, Höhenlinien, Mathematik, mehrere Veränderliche, Schnitt

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16:00 Uhr, 28.06.2016

hi,

ich komme bei einer aufgabe nicht weiter und bitte um eure hilfe.
die aufgabe lautet:

Welche werte kann die funktion

f (x, y) = - {(x - 1)}^{2} - 4 \cdot {(y - 2)}^{2} + 4

annehmen ?
Skizzieren sie die Höhenlinien und Schnitte von

f

.
fertigen sie eine grobe skizze vom graphen

f

an.

alo die funktion kann ja nur werte größer oder gleich 4 annehmen.
bei den höhenlinien und schnitten habe ich keinen plan. wie gehe ich genau vor.

ich weiss das ich für die linke seite der funktion zahlen

(1,2,3 ...)

einsetzen muss und somit gucken welche Variablen das erfüllen.

1 = x^{2} + 2 \cdot x + 1 - 4 y^{2} + 16 y

nach

y

aufgelöst

\Rightarrow y (4 y - 16) = x^{2} - 2 x

hier komme ich nicht mehr weiter

und bei den schnitten habe ich erst recht keine ahnung

danke im voraus für eure schnelle rückmeldung

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Definitionsbereich (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definitionsbereich
Definitionsbereich der Wurzel angeben
Definitionsbereich einer Wurzelfunktion
Einführung Funktionen
Hyperbeln
Lagebeziehung Ebene - Ebene

Definitionsbereich
Definitionsbereich der Wurzel angeben
Definitionsbereich einer Wurzelfunktion
Einführung Funktionen
Hyperbeln

Roman-22

16:02 Uhr, 28.06.2016

>

alo die funktion kann ja nur werte größer oder gleich 4 annehmen.
Falsch! Ganz im Gegenteil! Schau dir doch mal die Vorzeichen vor den Klammern an!

Für die Schichtenlinien solltest du die Klammern nicht ausrechnen, sondern vielleicht besser an Kegelschnittsgleichungen denken. Im Falle eines elliptischen Paraboloids vielleicht speziell an Ellipsengleichungen.

R

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16:05 Uhr, 28.06.2016

stimmt mein fehler kleiner oder gleich 4 .

Roman-22

16:09 Uhr, 28.06.2016

Dann überlege dir, welche Kurve

x^{2} + 4 y^{2} = C

sein könnte.
Und wenn du nun

x

durch

x - 1

und

y

durch

y - 2

ersetzt, was bedeutet das bloß?

R

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16:13 Uhr, 28.06.2016

ach eine Ellipse mit dem mittelpunkt

(1 | 2)

ist halt schwer sowas zu erkennen. kenne die ellipsengleichung eigentlich nur so :

bsp:

\Rightarrow \frac{x^{2}}{1^{2}} + \frac{y^{2}}{2^{2}} = 1

Roman-22

16:17 Uhr, 28.06.2016

>

kenne die ellipsengleichung eigentlich nur so :

na, dann schreib anstelle von

x^{2} + 4 y^{2} = C

eben

\frac{x^{2}}{{(\sqrt{C})}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(\frac{\sqrt{C}}{2})}^{2}} = 1,

dann siehst auch schön, dass die Achsen deiner Ellipsen immer im Verhältnis

2 : 1

stehen. Und

C

darfst du durch

4 - z

ersetzen.

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16:27 Uhr, 28.06.2016

ok danke dir habe es soweit verstanden.

und wie gehe ich bei den schnitten vor ?

ledum aktiv_icon

00:37 Uhr, 29.06.2016

was meinst du mit "Schnitten" die Höhenlinien? das sind doch gerade die Ellipsen, nur musst du sie noch für

f = - 10, - 9,, .

0, 1,2 34

richtig hinschreiben und dann zeichnen.
da du damit den Querschnitt deiner "Gebirgsfunktion) in jeder Höhe kennst ist der Graph leicht zu skizzieren
Gruß ledum

Roman-22

12:32 Uhr, 29.06.2016

>

und wie gehe ich bei den schnitten vor ?
Auch ich verstehe diese deine Rückfrage nicht.
Im Thread ging es doch die ganze Zeit ohnehin nur um die Schichtenlinie in z-Achsen-normalen Ebenen und ich habe dir sogar auch schon geschrieben, was du für

C

einsetzen musst, um die Ellipse in der Höhe

z

zu erhalten (die noch nötige Verschiebung in

x -

und

y -

Richtung hast du selbst schon erkannt.)

In deiner Angabe schreibst du zwar "Skizzieren sie die Höhenlinien und Schnitte", aber solange nicht näher spezifiziert wird, welche "Schnitte" da gemeint sind, müssen wir wohl davon ausgehen, dass es sich hier nur um eine redundante Formulierung handelt und mit beiden Ausdrücken die Schichtenlinien gemeint sind.
Oder hast du uns Teile der Angabe unterschlagen?

R

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12:40 Uhr, 29.06.2016

welche Schnitte gefordert sind wird nicht erwähnt. Ok dann weiß ich ja Bescheid. Danke euch

Monkeyd aktiv_icon

15:03 Uhr, 03.07.2016

eine frage noch.

die funktion

f (x, y) = {(x + 1)}^{2} + 2 \cdot {(y - 2)}^{2} + 1

kann doch nur werte höher oder gleich 1 annehmen oder?

und wenn ich die höhenlinien skizzieren will gehe ich dann so vor indem ich

1 = {(x + 1)}^{2} + 2 \cdot {(y - 2)}^{2} + 1

umgeschrieben

\Rightarrow 1 = x^{2} + 2 x + 2 \cdot y^{2} - 8 y + 10

ich sehe ja durch

x^{2}

und

y^{2}

wieder dass es eine ellipse ist. doch wie zeichne ich diese ein

ledum aktiv_icon

16:16 Uhr, 03.07.2016

Hallo
zu 1 ja-
dass es Ellipsen - auch entartete Ellipsen sind hatte du doch schon mit dem vorogen? Warum multiplizierst du aus, das versteckt nur, dass es Ellipsen mit Mittelpunkt

M = (- 1,2)

sind.
die "Höhenlinie "z=h=1 ist dabei nur ein Punkt. für die anderen

z

Werte forme wieder so um, dass man die Achsen sieht.
mit geogebra (gutes freies Programm)

z . B

kannst du die Ellipsen mit gegebenen Achsen leicht zeichnen.
Gruß ledum

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16:50 Uhr, 03.07.2016

habe mir das progamm mal runter geladen und wenn ich die funktion eingebe zeichnet sie mir eine senkrechte zur

x

achse

die ellipse hat sein mittelpunkt dann ja bei

(1 | 2)

wie kann ich denn jetzt die ellpise genau zeichnen wenn ich die funktion nicht ausklammere und so lasse

f (x, y) = {(x + 1)}^{1} + 2 \cdot {(y - 2)}^{2} + 1

Roman-22

19:12 Uhr, 03.07.2016

Was genau sollst du denn überhaupt zeichnen - eine Schrägriss-Skizze unter Berücksichtigung der entsprechenden Verzerrungen oder einen Contour-Plot, oder

...

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19:39 Uhr, 03.07.2016

ich soll den graphen skizzieren, mehr wurde nicht erwähnt

Roman-22

19:43 Uhr, 03.07.2016

Dürftige Ansage!
Den Graph wovon? Von einer Schicht, von mehreren Schichten, von der Fläche selbst?

Wenn nix gegeben ist, dann hast du ja freie Wahl. Ich würde den Graph der Höhenlinie in der Höhe

z = 1

wählen - das ist bloß ein Punkt :-)

Im Anhang ein Versuch mit Geogebra, auch wenn ich zugeben muss, dass mit das Programm nicht sonderlich liegt.

R

Monkeyd aktiv_icon

19:56 Uhr, 03.07.2016

einen programm habe ich ja nicht zur verfügung bei der klausur :-D) wie zeihne ich dann diesen graphen

Roman-22

20:23 Uhr, 03.07.2016

Die Frage kann man dir nicht beantworten, wenn du selbst nicht weißt, was genau du zeichnen sollst.

Wenn du dir eine beliebige Höhe aussuchst, zB

z = 4,

dann kannst du ja leicht die halbe Hauptachse der Ellipse

(\in

x-Richtung) mit

\sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} \approx 1,7

und die halbe Nebenachse mit

\sqrt{\frac{4 - 1}{2}} = \sqrt{1,5} \approx 1,2

bestimmen, diese Längen unter Berücksichtigung des Ellipsenmittelpunkts eintragen und die Ellipse grob skizzieren.
Bei deiner neuen Aufgabe stehen die Achsen ja nun immer im Verhältnis

\sqrt{2} : 1

.

Wenn du den Graph von

f

skizzieren sollst, dann machst du das eben in einer Schrägrissskizze (Verzerrungen wählen und dann immer beachten. Feiglinge wählen alle Verzerrungen

= 1

:-)

R

ledum aktiv_icon

21:37 Uhr, 03.07.2016

Hallo
Schitte sind wohl die Schnitte parallel zu zy und zx Eben durch den Mittelpunkt gemeint, also Parabeln.. Wenn man die hat, ist es nicht schwer das Paraboloid, also den Graphen zu skizzieren.
Gruß ledum

Monkeyd aktiv_icon

12:27 Uhr, 04.07.2016

ok ich danke euch nochmals

Monkeyd aktiv_icon

12:27 Uhr, 04.07.2016

ok ich danke euch nochmals

Monkeyd aktiv_icon

12:36 Uhr, 04.07.2016

nehmen wir mal an ich will den graphen punkt weise zeichen für

z = 1

wenn ich nun mit

x = 2

anfange

habe ich doch

\Rightarrow 1 = {(2 + 1)}^{2} + 2 \cdot (y - 2) + 1

wenn ich das jetzt so umforme erhalte ich

\Rightarrow - 3 = {(y - 2)}^{2}

da ich nicht die wurzel ziehen kann von

- 3

ledum aktiv_icon

13:10 Uhr, 04.07.2016

Hallo
damit stellst du fest, dass es keine Höhenlinie

z = 1

durch

x = 2

gibt. da da ja steht 0=Quadrat +Quadrat ist klar dass es nur

x, y

gibt wenn beide Quadrate 0 sind.
entsprechend kannst du auch bei

z = 2

nicht irgend ein

x

einsetzen und erwarten ein

y

zu finden!
wenn du einfacher

z . B

. die Kreisgleichung

x^{2} + y^{2} = 1

hast und die nicht mit dem Zirkel sondern punktweise zeichnen willst setzt du doch auch nicht erstmal

x = 2

und wunderst dich, dass es kein

y

gibt?
Gruß ledum

Monkeyd aktiv_icon

13:23 Uhr, 04.07.2016

habe echt probleme mit dem thema.

wenn ich nun für

z = 2

das erhalte

\Rightarrow 2 = {(x + 1)}^{2} + 2 \cdot {(y - 2)}^{2} + 1

minus 1

\Rightarrow 1 = {(x + 1)}^{2} + 2 \cdot {(y - 2)}^{2}

kann ich ja auch so schreiben:

1 = \frac{{(x + 1)}^{2}}{1^{2}} + 2 \cdot \frac{{(y - 2)}^{2}}{1^{2}}

kann ich den kreis nun zeichnen mit dem MP

(- 1 | 2)

und radius

1 \in x

richtung und

1 \in y

richtung

Roman-22

14:03 Uhr, 04.07.2016

>

kann ich den kreis nun zeichnen
DAS IST ABER KEIN KREIS!!!!!!!
Du darfst doch den Faktor 2 beim zweiten Summanden nicht einfach ignorieren!
Außerdem würde der Kreis in einer Schrägrissskizze üblicherweise nicht wieder als Kreis erscheinen (es sei denn du wählst einen Horizontalriss).

Sinn voll ist es, die Gleichung so umzuschreiben

1 = \frac{{(x + 1)}^{2}}{1^{2}} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{2}}

Ich dachte, wir wären uns bei beiden Aufgaben bereits einig, dass es sich bei den Schichtenlinien um Ellipsen mit durchwegs gleichem Achsenverhältnis handelt und ich habe doch oben auch geschrieben, dass das Achsenverhältnis bei deiner zweiten Aufgabe

\sqrt{2}

zu 1 ist.
Ich habe dir oben ja auch schon genau angegeben, wie du die Achsenlängen für eine bestimmte Höhe

z

bestimmen kannst bzw. kannst du das dem Geogebra-Bild entnehmen.
Dass du jetzt plötzlich meinst, einfach Kreise zeichnen zu können, lässt die Befürchtung aufkommen, dass der bisherige Thread inhaltlich an dir vorbei gegangen ist.

Wenn du also

z = 1

wählen möchtest, dann trage in deiner Schrägrissskizze den Punkt

M (- 1 / 2 / 1)

ein, das ist der Mittelpunkt der Ellipse. Jetzt zeichne durch diesen Punkt Parallele zu

x -

und y-Achse. Auf der Parallelen zur x-Achse trägst du von

M

aus in beiden Richtungen die Länge 1 ab, auf der Parallelen zur y-Achse beidseits die Länge

0,7 (\approx \frac{1}{\sqrt{2}})

. Die Tangenten in den Scheiteln sind jeweils parallel zur anderen Achse und so hast du quasi in der Schrägrisszeichnung ein Parallelogramm, in das du sicher grob das Ellipsenbild reinnudeln kannst.

Anm.: Das Bild deiner Ellipse ist wieder eine Ellipse und die Bilder der Achsen bilden für diese neue Ellipse ein Paar konjugierter Durchmesser. Aber das musst du nicht unbedingt wissen, um das Ding zu zeichnen.
ell2

Du musst dich eben entscheiden, ob du den Graph der Funktion, also das elliptische Paraboloid, unter Verwendung der Höhenlinien (Schnitte mit xy-parallelen Ebenen

\to

Ellipsen) skizzieren möchtest, oder, wie von ledum vorgeschlagen, unter Verwendung der Schnitte mit xz- und/oder yz-parallelen Ebenen, die allesamt Parabeln sind.
Du kannst natürlich auch alle drei Schnitte kombinieren.

R

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14:07 Uhr, 04.07.2016

Ok jetzt habe ich es

Monkeyd aktiv_icon

14:07 Uhr, 04.07.2016

Ok jetzt habe ich es

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14:07 Uhr, 04.07.2016

Ok jetzt habe ich es

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