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hohe Potenz einer Permutation

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Sonstiges

Tags: permutation, Sonstig, Zyklenschreibweise

anonymous

11:32 Uhr, 10.10.2015

Folgende Aufgabe:

σ = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ 12 & 3 & 11 & 5 & 1 & 8 & 2 & 6 & 9 & 7 & 10 & 4 \end{matrix})

Berechne

σ^{2015}

in Zyklenschreibweise.

Könnte mir jemand erklären, wie das funktioniert und wie ich das angehen soll? Oder hätte einen Link zu einer Erklärung? Ich habe leider nichts verständliches gefunden.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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11:38 Uhr, 10.10.2015

Die hohe Potenz ist kein Problem, denn

σ^{12} = e

(Einheit), daher

σ^{2015} = σ^{- 1}

, denn

2015 = 12 \cdot 168 - 1

.
Damit musst Du nur

σ

invertieren.

anonymous

11:41 Uhr, 10.10.2015

Ahh ich verstehe, vielen Dank :-)

anonymous

15:46 Uhr, 10.10.2015

Ich hab doch nochmal eine kleine Frage. Wie kommt man darauf, dass

σ^{12} = e

ist?

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17:43 Uhr, 10.10.2015

Ups, da ist mir ein Fehler unterlaufen, sorry, in Wirklichkeit ist die Ordnung

20

.

Das sieht man, wenn man die Permutation als Produkt der unabhängigen Zyklen darstellt:

(1

12

4

5) (2

3

11

10

7) (6

8)

.
Denn für so ein Produkt ist seine Ordnung =

20

= kgV der Länge der Zyklen.

anonymous

17:43 Uhr, 12.10.2015

Heißt das jetzt

σ^{20} = e

? Und damit

2015 = 20 \cdot 100 + 15 \to σ^{2015} = σ^{15}

? Und wie rechne ich das jetzt aus?

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17:58 Uhr, 12.10.2015

Ja, so ist es. Und weiter wenn Permutation ein Produkt von unabhängigen Zyklen ist:

σ = z_{1} \cdot z_{2} \cdot . . . \cdot z_{n}

, dann gilt für Potenzen:

σ^{k} = z_{1}^{k} \cdot z_{2}^{k} \cdot . . . \cdot z_{n}^{k}

.
Und die Zyklen zu potenzieren ist einfach, vor allem weil für ein Zyklus

z

der Länge

m

gilt

z^{m} = e

anonymous

19:41 Uhr, 12.10.2015

Also falls ich das jetzt alles richtig verstanden habe, müsste ich doch dann

(12,4,5,1) (2,3,11,10,7) (8,6)

rausbekommen? Stimmt das?

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19:56 Uhr, 12.10.2015

Nicht ganz, denn

(2, 3, 11, 10, 7)^{5} = e

, daher

(2, 3, 11, 10, 7)^{15} = e^{3} = e

.
Und

(8, 6)

ist dasselbe wie

(6, 8)

.
Und

(12, 4, 5, 1)

ist dasselbe wie

(1, 12, 4, 5)

.
Richtig aber wäre

(1, 12, 4, 5)^{3} = (1, 5, 4, 12)

anonymous

15:05 Uhr, 13.10.2015

Okay, ich hab es jetzt nochmal probiert und komme auf

(12,1,5,4) (8,6)

{(2,3,11,10,7)}^{15}

kann ich dann einfach weglassen, weil es gleich

e

ist?
Ich hoffe das stimmt diesmal.

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15:08 Uhr, 13.10.2015

"kann ich dann einfach weglassen, weil es gleich

e

ist?"

Ja.
Sonst richtig.

anonymous

15:09 Uhr, 13.10.2015

Ich glaube ich hab's jetzt verstanden. Vielen Dank :-)

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