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homogene Koordinaten, homogene Gleichungen

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Tags: homogene Koordinaten, Projektive Geometrie, Sonstig

ray11 aktiv_icon

08:54 Uhr, 16.10.2019

Hallo, ich habe das Thema mit den homogenen Koordinaten leider noch nicht wirklich verstanden. Ich hoffe mir kann jemand bei der folgenden Aufgabe helfen.

1)

In der projektiven Ebene

P^{2}

sind die Punkte

A = {[5,15,10]}^{T}, B = {[1,2,4]}^{T}, C = [0,

−2, −2

]^{T},

und

D = {[0,12,0]}^{T}

durch homogene Koordinaten gegeben. Diese Punkte bilden ein Viereck. Man gebe die kartesischen Koordinaten der Punkte an und visualisiere das Viereck in GeoGebra. Weiters bestimme man die homogenen Gleichungen und die homogenen Geradenkoordinaten der vier Seitengeraden

g_{1} = [A B], g_{2} = [B C], g_{3} = [C D], g_{4} = [D A]

und der Diagonale

d = [B D]

.

Ich habe versucht die kartesischen Koordinaten anzugeben (bei uns bestimmt der erste Eintrag eines Vektors einen möglichen Fernpunkt):

kartesische Koordinaten:

A = \frac{1}{5} \cdot (\begin{matrix} 15 \\ 10 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}),

bei

C

und

D

steht an der ersten Stelle eine

0,

was bedeutet diese sind im projektiven Raum Fernpunkte und haben daher keine euklidische Darstellung.

Wie soll ich nun diese Punkte in Geogebra darstellen, wenn wir uns hier im

ℝ^{2}

befinden?

Wie bestimmt man die homogenen Gleichungen bzw Geradenkoordinaten?

Danke,
lg ray

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

09:47 Uhr, 16.10.2019

Hallo,
bei der Wahl der Ferngerade hat man volle Freiheit. Daher kannst du
um alle Punkte ins Endliche zu bringen (also affin zu machen),
die Punkte mit den Koordinaten

[*, 0, *]

zur Ferngerade erklären.
Gruß ermanus

ray11 aktiv_icon

10:50 Uhr, 16.10.2019

Danke für die Antwort.

Dann sage ich einfach liegen im

ℝ^{2}

auf der Ferngeraden?

Und wie kann ich es dann in GeoGebra visualisieren?

Bzw wie bestimmt man die homogenen Gleichungen bzw Geradenkoordinaten?

ermanus aktiv_icon

10:57 Uhr, 16.10.2019

Du sagst einfach "Ich wähle die Menge der Punkte

[x, y, z]

mit

y = 0

als Ferngerade".

[x, y, z] \mapsto (x / y, z / y)

liefert dir dann für die 4 vorgegebenen
Punkte ganz normale reelle (affine) Punktkoordinaten.
Gruß ermanus

ray11 aktiv_icon

11:03 Uhr, 16.10.2019

Und warum bei

y = 0

und nicht

z . B

. bei

x = 0

? Denn wir hatten in der Vorlesung immer den ersten Eintrag zur Bestimmung von homogenen Koordinaten benutzt.

Und was passiert wenn ich hierbei durch 0 dividiere? Wie sieht das in kartesischen Koordinaten dann aus?

ermanus aktiv_icon

11:30 Uhr, 16.10.2019

P^{2}

sind alle Komponenten gleichwertig. Wenn ich also
die 4 Punkte in der reellen affinen Ebene betrachten will, muss ich die
Ferngerade so wählen, dass ich eben nicht (!) durch 0 teilen muss.
Was die Geraden anbetrifft, schreibe ich dir demnächst noch etwas.

ermanus aktiv_icon

12:40 Uhr, 16.10.2019

Hallo,
ich führe dir die Gewinnung der homogenen Geradengleichung für

g_{1}

mal vor:
Eine solche Gleichung muss so aussehen

a x + b y + c z = 0

.

Gesucht sind

a, b, c

.

Da

A

und

B

auf der Geraden

[A B]

liegen, muss gelten:

5 a + 15 b + 10 c = 0

und

a + 2 b + 4 c = 0

.

Aus diesen beiden Gleichungen kannst du die gesuchten Tripel

a, b, c

gewinnen.

Gruß ermanus

ray11 aktiv_icon

13:29 Uhr, 16.10.2019

Ich habe hier aber nur 2 Gleichungen und 3 Unbekannte. Das heißt dieses GLS ist nicht eindeutig lösbar. Wie macht man das dann?

ermanus aktiv_icon

13:32 Uhr, 16.10.2019

Dann nimmst du eine Lösung

\neq (0, 0, 0)

davon nach Belieben ...
Die unterscheiden sich ja nur um einen konstanten Faktor, d.h.
die homogenen Gleichugen der projektiven Gerade unterscheiden sich
nur um einen gemeinsamen Faktor, haben also die gleiche Lösungsmenge.

ray11 aktiv_icon

13:48 Uhr, 16.10.2019

Das versteh ich nicht.
Kannst du mir das bei dem ersten zeigen wie das aussehen würde.

ermanus aktiv_icon

13:51 Uhr, 16.10.2019

Gerne! Du musst aber ein wenig Geduld haben, da ich jetzt für ca. 5 Stunden
offline gehen muss.
Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

19:49 Uhr, 16.10.2019

Die Lösungsmenge der beiden homogenen Gleichungen ist

{t \cdot (8, - 2, - 1) ∣ t \in ℝ}

.
Nehmen wir den Wert für

t = 1

bekommen wir für

g_{1}

die
projektive Geradengleichung

8 x - 2 y - z = 0

.
Hätten wir

t = - 2

genommen, so ergäbe sich die
Geradengleichung

- 16 x + 4 y + 2 z = 0

.
Die beschreibt aber doch die gleiche Menge;
denn die zweite Gleichung ist doch nur das

- 2

-fache der ersten.
Also ist es offenbar egal, welche Lösung

\neq (0, 0, 0)

ich benutze,
um die Geradengleichung aufzustellen.
Gruß ermanus

ray11 aktiv_icon

17:58 Uhr, 17.10.2019

Ok ich glaub ich habe es jetzt so ungefähr verstanden.

Für

g_{2}

hätte ich dann die homogene Geradengleichung

- 2 x - y + z = 0

g_{3} :

wäre die Ferngerade, da sowohl

C

als auch

D

Fernpunkte sind

g_{4} : - 2 x + z = 0

g_{5} : - 4 x + z = 0

Stimmt das soweit?

Die homogenen Geradenkoordinaten wären einfach die Koeffizienten der oben stehenden Gleichungen , richtig?

ermanus aktiv_icon

18:17 Uhr, 17.10.2019

Das habe ich auch heraus :-)

ray11 aktiv_icon

21:40 Uhr, 17.10.2019

Vielen Dank für deine Hilfe.

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