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hypergeometrische- oder Bonimialverteilung?

Schüler

Tags: Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Stochastik

 
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Sabine2

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17:43 Uhr, 11.06.2012

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Hallo liebes Forum,

ich bin verwirrt. Am besten ich stelle zunächst mal die Aufgabe:

Unter 17 Personen befinden sich 9 Raucher. Es sollen 7 der 17 Personen zufällig ausgewählt werden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich darunter höchstens 2 Raucher befinden.

Ich würde für diese Aufgabe eine Binomialverteilung zugrunde legen, mein Lehrer meint aber, die Zufallsvariable, nennen wir sie X, sei hypergeometrisch Verteilt.

Wieso ist die Zufallsvariable hier hypergeometrisch verteilt?

Danke für die Hilfe! :-)

Sabine

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

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Matheboss

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17:53 Uhr, 11.06.2012

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Das ist hier "Ziehen ohne Zurücklegen". Damit ändert sich die Wahrscheinlichkeit bei jedem Zug.

Wenn die Anzahl n sehr groß wäre, dann könnte man näherungsweise Bernoulli verwenden.
Bei Bernoulli darf sich die Wahrscheinlichkeit nicht ändern.
Aber hier ist n=17 zu klein.
Sabine2

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17:57 Uhr, 11.06.2012

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Ah okay, das macht sinn.
Wie formuliert man das denn am besten?

Die Zufallsvariable X ist hypergeometrisch verteilt mit den Parametern ... (welche Parameter sind für die hypergeometrische Verteilung von Bedeutung) und beschreibt die Anzahl der Raucher unter den 17 ausgewählten.

?
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Matheboss

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18:11 Uhr, 11.06.2012

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P("genau k Raucher")= (Kk)(N-Kn-k)(Nn)
N=alle Personen
n=Anzahhl der gezogenen Personen
K= Anzahl der Raucher insgesamt
k= Anzahl der gezogenen Raucher



Du musst summieren, P(x02)=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)

P(x2)=((90)(87)+(91)(86)+(92)(85))(177)
Sabine2

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18:18 Uhr, 11.06.2012

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Ja, die Rechnung ist mir klar, mit geht es nur um die Formulierung, wie ich die Zufallsvariable einführe.
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Matheboss

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18:22 Uhr, 11.06.2012

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Du warst jetzt schneller, ich habe oben noch ergänzt.
Sabine2

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18:25 Uhr, 11.06.2012

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Ne so meine ich das leider nicht.
Ich meine, wie soll ich folgenden Satz beenden:

Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Raucher unter den 7 ausgewählten. X ist hypergeometrisch verteilt mit den Parameter......?

Nebenbei: Ich komme auf 0,117. Ist das korrekt?
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Matheboss

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18:36 Uhr, 11.06.2012

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Ergebnis ist richtig.

Irgendwie stehe ich jetzt auf dem Schlauch.
Meinst Du so etwas
Eine Zufallsgröße heißt "hypergeometrisch verteilt" mit den Parametern n,N und K
mit nN und kN, wenn für ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt
P(X=k)... (siehe oben)

Aus einer Menge mit N Elementen, von denen K das Merkmal "A"(Raucher) besitzen, werden zufällig n Elemente entnommen.
Die Zufallsgröße X zeigt die Anzahl der gezogenen Elemente mit dieser Eigenschaft "A" (Raucher) an.

Sabine2

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18:44 Uhr, 11.06.2012

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Naja bei der Binomialverteilung hatten wir immer folgendes gechrieben:

Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der ... . X ist binomialverteilt mit p=... und n=... .

Dann schreibe ich hier:

X ist hypergeometrisch verteilt mit N=17,M=9,n=7.

Geht das so klar?

Und dann noch eine andere Aufgabe, die sehr ähnlich scheint:

Unter 8100 Personen befinden sich 2187 Raucher. Es sollen 200 der 8100 Personen zufällig ausgewählt werden. Berechnen Sie mit einem Näherungsverfahren die Wahrscheinlichkeit, dass sich darunter mindestens 48 und höchstens 58 Raucher befinden.

Gesucht ist also P(48X58) und offensichtlich soll ich hier irgendwas mit der Normalverteilung approximieren. Aber dieses Verfahren kenne ich nur von der Binomialverteilung. Wie approximiere ich hier die hypergeometrische Verteilung (die hier ja wieder vorliegt, oder?) durch die Normalverteilung?
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Matheboss

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18:54 Uhr, 11.06.2012

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Hier kannst Du mit Bernoulli näherungsweise rechnen, da n groß genug und sich die Wahrscheinlichkeit für p(Raucher) sich nur geringfügig ändert.

p(Raucher)=2187/8100=0,27
n=200

P(48X58)=P(X=58)-P(X=47) und im Tafelwerk nachschauen.

Sorry muss jetzt ausloggen.

Sabine2

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18:58 Uhr, 11.06.2012

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Aber unser Lehrer meinte etwas von der Normalverteilung..
Sabine2

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20:00 Uhr, 11.06.2012

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Okay, vllt. meinte mein Lehrer ja auch, dass ich die Binomialverteilung nochmals durch die Normalverteilung approximieren soll, das wäre dann aber ja quasi doppelt approximiert. Ich habs trotzdem gemacht und erhalte folgendes:

1.) Hypergeometrische Verteilung wird nur durch Binomialverteilung approximiert: Ergebnis ist 0,615
2.) Hypergeometrische Verteilung wird zunächst durch Binomial- und dann durch Normalverteilung approximiert:
Ergebnis ebenfalls 0,615

2.) ist zwar sinnlos, aber ich kann mir sonst nicht vorstellen, was mein Lehrer hier verlangt.

Dann hat die Aufgabe noch einen dritten Teil:

Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass der Anteil der rauchenden Personen an der bundesdeutschen Bevölkerung über 18 Jahre 34% beträgt. Bestimmen Sie die Mindestzahl an Personen, die man aus dieser Bevölkerungsgruppe zufällig auswählen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von über 96% eine rauchende Person unter ihnen zu finden.

Ansatz:
Auch hier wäre die Zufallsvariable hypergeometrisch verteilt. Da aber die Stichprobe n sehr viel kleiner sein wird (vermute ich mal) als der Gesamtumfang (=bundesdeutsche Bev. über 18) kann man wieder mit einer Binomialverteilung approximieren. n ist dann gesucht und p=0.34

P(X1)>0,96

Nach umformen usw. erhalte ich n>7,75, also n mindestens =8. Kannst du mir das Ergebnis bestätigen?
Auch hier verlangte unser Lehrer irgendetwas mit der Normalverteilung anzufangen. Aber wie soll das bitte gehen? Auch hierzu meine Gedanken:

1-P(X=0)>0,96
1-P(-0,5-μσX-μσ0,5-μσ)>0,96
Φ(0,5-μσ)-Φ(-0,5-μσ)<0,04

Da ich aber weder μ noch σ berechnen kann, da n ja gesucht und nicht gegeben ist, stecke ich hier fest. Und eine Kleinigkeit noch: Wenn ich eine Ungleichung mit -1 multipliziere, ändert sich ja die Richtung des Relationszeichens. Wird dann aus < (bzw. >) oder > (bzw. oder <)?
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prodomo

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07:48 Uhr, 12.06.2012

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n=8 ist völlig ok. Normalverteilung macht hier keinen Sinn. Mit dem Gegenereignis ("n Nichtraucher hintereinander auswählen") geht es am schnellsten, denn dessen Wahrscheinlichkeit muss unter 0,04 fallen. Aus 0,66n<0,04 ergibt sich n>ln(0,04)ln(0,66). Die Zeichenumkehr hast du richtig erkannt, auch die 7,75 stimmen. Normalverteilung macht keinen Sinn und war auch in der Musterlösung nicht vorgesehen (die Aufgabe kam im Abi - SH vor)
Sabine2

Sabine2 aktiv_icon

14:31 Uhr, 12.06.2012

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Okay, danke euch zwei :-)

Dass es keinen Sinn macht ist das eine. Ist es denn trotzdem möglich? ;-)
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prodomo

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15:41 Uhr, 12.06.2012

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Die Bedingung npq>3 klappt nicht. Mit p=0,34 und q=0,66 ergibt npq=n0,4737. Daher müsste n>6,33 sein, demnach n ca. 40. Die Normalverteilung ist also eine so grobe Näherung, dass sie keinen Sinn macht.
Rein rechnerisch könnte man den Bereich der Glockenkurve heranziehen, der 4% der Glockenkurve abdeckt. Das wäre der Fall bei x=-1,76. 0 Nichtraucher ergäbe 0,5 als rechte Grenze, also 0,5-0,66nn0,340,66=-1,76. Das ergibt eine Wurzelgleichung. Die kann man durch Quadrieren oder mit einer Wertetabelle ( geht gut mit Casio fx 991 oder besser) lösen, aber wie oben schon gezeigt.....
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Sabine2

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16:05 Uhr, 12.06.2012

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Super, genau so eine Antwort habe ich mir erhofft.

Danke und schönen Tag noch!
Frage beantwortet
Sabine2

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16:08 Uhr, 12.06.2012

Antworten
Super, genau so eine Antwort habe ich mir erhofft.

Danke und schönen Tag noch!
Sabine2

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13:44 Uhr, 15.06.2012

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So es gibt Neuigkeiten:
Ich habe heute die Musterlösung erhalten, soweit ist alles richtig :-)

Nur eine Frage zu der Aufgabe: "Unter 8100 Personen befinden sich 2187 Raucher. Es sollen 200 der 8100 Personen zufällig ausgewählt werden. Berechnen Sie mit einem Näherungsverfahren die Wahrscheinlichkeit, dass sich darunter mindestens 48 und höchstens 58 Raucher befinden."

In der Musterlösung wird geschrieben, dass man die hypergeometrische Verteilung mit der Binomialverteilung approximieren darf. Danach wird aber nochmal die Binomialverteilung mit der Normalverteilung approximiert.

In meinen Augane ist das vollkommen sinnlos, denn:
1) Die Aufgabe lautet: Wähle EIN Näherungsverfahren und nicht 2
2) Lässt es sich nach meinem Geschmack leichter mit der Binomialverteilung rechnen als mit der Normalverteilung

Müsste es nicht auch als richtig anerkannt werden, wenn ich die hypergeometrische Verteilung nur mit der Binomialverteilung approximiere (und eben nicht noch den Schritt mit der Normalverteilung mache)?

lg,

Sabine

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prodomo

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12:35 Uhr, 16.06.2012

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Ob man beide Verteilungen notieren sollte, ist Ansichtssache. Die hypergeometrische ist die exakte, aber nur mit einem CAS machbar, normale Taschenrechner streiken dabei. Binomialverteilung ist eine mögliche Näherung, aber ebenfalls nur mit CAS machbar. Nur Normalverteilung ist mit Taschenrechner oder Tabelle machbar (Tip: wenn das in der Lösung beabsichtigt ist, wird meistens eine Tabell der Gauß-Funktion Φ(x) mitgeliefert ). Dein Vorhaben, mit der Binomialverteilung auszukommen, wird also vermutlich an den Hilfsmitteln scheitern. Zur Kontrolle: 60,075%
Sabine2

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13:15 Uhr, 16.06.2012

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Ich habe zwar noch nicht den Abiturrechner, aber ich kann sicher sagen, dass dieser Rechner Binomialkoeffizienten berechnen kann und auch Summen bilden kann (gut für kumulierte Wahrscheinlichkeiten). Demnach müsste man doch alle Verteilungen berechnen können, oder nicht?

Auf das Ergebnis komme ich sowohl mit Binomial- als auch mit der Normalverteilung (direkt mit der hypergeometrischen Verteilung habe ich es nicht gerechnet, das war ja auch nicht verlangt).
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