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induziertes Maß berechnen

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Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: induziertes Maß, Wahrscheinlichkeitsmaß

 
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Froog

Froog

18:11 Uhr, 14.07.2020

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Hallo,
ich habe die Funktion T:([0,1]2,ℬ2)→(ℝ,ℬ) mit T((x1,x2)):=x1-x2 gegeben und soll das induzierte Maß λ2T-1 mit λ2T-1(B):=λ2(T-1(B)) für B∈ℬ bestimmen. Ich habe allerdings Probleme die Umkehrfunktion zu bestimmen. Kann mir hier jemand weiterhelfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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ermanus

ermanus aktiv_icon

10:38 Uhr, 15.07.2020

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Hallo,
der Begriff "Umkehrfunktion" gibt hier keinen Sinn,
sondern es geht hier um das Lebesgue-Maß (also die Fläche)
der Urbildmenge einer Borelmenge bzgl. der Abbildung T.
Sei μ:=λ2T-1.
Wenn wir den Wert von μ auf Erzeugenden ((a,b) oder (a,b]
oder [a,b) oder [a,b]) von ℬ kennen,
"kennen" wir μ. Ich nehme mal die abgeschlossenen Intervalle.
Wir müssen dann also μ([a,b]) berechnen. Nach Definition von
μ ist dies gleich dem Flächenmaß der Menge
T-1([a,b])={(x1,x2)∈[0,1]2∣a≤x1-x2≤b}.
Du kannst dir überlegen, dass es reicht, -1≤a≤b≤1
zu betrachten, da T([0,1]2)=[-1,1] ist.

Zur Kontrolle: für 0≤a≤b≤1 habe ich
μ([a,b])=12[(1-a)2-(1-b)2]
herausbekommen (ohne Gewähr).

Eine ähnliche Formel gilt für -1≤a≤b≤0.

Den Fall -1≤a≤0≤b≤1, erledigt man durch
μ([a,b])=μ([a,0]∪[0,b])=μ([a,0])+μ([0,b]).


Gruß ermanus
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ermanus

ermanus aktiv_icon

13:10 Uhr, 17.07.2020

Antworten
Hallo Froog,
warum stellst du hier eine Frage, wenn dich die Antwort
anscheinend nicht interessiert. Zumindest eine Reaktion könnte man
als Helfer erwarten.
Aber vielleicht lässt du den Thread genauso sang- und klanglos
sterben, wie du es schon mehrfach getan hast.
Unsereins empfindet das vorsichtig ausgedrückt als unhöflich.
Aber vielleicht bist du auch nur verhindert gewesen und meldest
dich noch, dann will ich nichts gesagt haben ;-)
Gruß ermanus
Frage beantwortet
Froog

Froog

20:02 Uhr, 29.07.2020

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Lieber ermanus,
du hast recht. Das tut mir Leid. Ich arbeite parallel an mehreren Beispielen, weshalb ich oft erst nach einiger Zeit wieder das Forum öffne. Du hast aber Recht, ich werde versuchen in Zukunft aufmerksamer zu sein.

Vielen Dank für deinen Beitrag!