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inhomogene DGL 2ten Grades

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

 
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ChristopherME

ChristopherME aktiv_icon

21:17 Uhr, 03.07.2014

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Hallo,

ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe :

y''-y'-6y=e2x(46-16x2)

Zu bestimmen ist die allg. Lösung.

Mein Ansatz :

y=y0+yp

y0:
charakteristisches Polynom :

λ2-λ-6=0

λ1=3  λ2=-2

y0=e3x+e-2x=e3xe2x=ex

Nun bekomme ich bei yp Probleme :

e2x(46-16x2) stellt sich für mich als Produkt 2er Störfunktionen dar.

daher Yp=Yp1Yp2

g1(x)=e2x
g2(x)=(46-16x2)

g1y1p(x)=Ae2x (Paramter A)
g2y2p(x)= Polynom 2en Grade =ax2+bx+c

Normalerweise würde ich yp jetzt ableiten und in die inhomogene DGL einsetzen. Muss ich das getrennt mal machen oder y1p und y2p vorher verrechen ?
Wie bestimme ich die Variablen, bin mir da nicht so sicher...
Ist das Obere überhaupt korrekt ? :-)

Danke für Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Loewe1

Loewe1

21:48 Uhr, 03.07.2014

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Hallo,

3 und -2 stimmem.

y0=C1e-2x+C2e3x

Ansatz yp

yp=a1e2x+a2e2xx+a3e2xx2

(aus Tabelle entnommen)

Jetzt mußt Du yp2 Mal differenzieren , dann einen Koeffizientenvergleich durchführen

y=y0+yp

:-)

ChristopherME

ChristopherME aktiv_icon

22:15 Uhr, 03.07.2014

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yo=c2exc1

hab nur die Konstanten vergessen...


Bei dem anderem Problem habe ich grad gesehen, dass es ja, wie du gezeigt hast, eine Lösung gibt.

Mal von dieser Aufgabe abgesehen : Wenn ich 2 Störfunktionen als Produkt habe. Wie rechne ich dann den inhomogenen Teil yp? (Vorrausgesetzt es gibt keinen tabellierten Lösungsansatz)
Antwort
Loewe1

Loewe1

22:27 Uhr, 03.07.2014

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Hallo,

also , Du warst schon gut dabei:

Das passiert produktweise:

e2x--------Ae2x

46-16x2------ax2+bx+c

Multipliziert

Ae2xax2+Ae2xbx+Ae2xc

Jetzt fasst Du die Konstanten zusammen:

Aa=a1
Ab=a2
Ac=a3

und kommst auf meinen Ansatz.

:-)

PS:

Betreffs e2x gibt es noch eine Formel:

y=Cxkeαx

k ist die Vielfachheit , in unserem Fall ist diese 0.

Ermittlung von k:

α im Störglied ist 2, da 3 und -2 die Lösungen der charakt. Gleichung sind ,
kommt die 2 dort nicht vor , also ist k=0

α ist 2 laut Störglied

----

Ce2x oder Ae2x


Für 46-16x2 gibt es keine Formel, das muß man so wissen .


Frage beantwortet
ChristopherME

ChristopherME aktiv_icon

22:40 Uhr, 03.07.2014

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ah super! Danke :-)