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inhomogene DGl: allgemeine und spezielle Lösung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: allgemeine Lösung, DGL, Gewöhnliche Differentialgleichungen, inhomgen, Probe, spezielle Lösung

ida9675 aktiv_icon

17:05 Uhr, 19.10.2014

Aufgabe: spezielle und allgemeine Lösung der DGl finden und eine Probe durchführen.

3 y'' + 3 y' - 18 y = 6 e^{3 x}

Ich habe als Basisfunktionen

e^{- 3 x}

und

e^{2 x}

ermittelt. Es besteht also keine Resonanz zu

6 e^{3 x}

Die allgemeine Lösung der DGl heißt also

y = 2 \cdot c \cdot e^{3 x}

(die dgl durch 3 geteilt)

für die spezielle Lösung habe ich

c = 1

genommen und damit die Probe durchgeführt:
dies geht jedoch nicht auf.

y = 2 \cdot c \cdot e^{3 x}

y' = 6 \cdot c \cdot e^{3 x}

y'' = 18 \cdot c \cdot e^{3 x}

dies habe ich dann wieder in die ursprüngliche dgl

3 y'' + 3 y' - 18 y = 6 e^{3 x}

eingesetzt

3 \cdot (18 \cdot c \cdot e^{3 x}) + 3 \cdot (6 \cdot c \cdot e^{3 x}) - 18 \cdot (2 \cdot c \cdot e^{3 x}) = 6 \cdot e \cdot^{3 x}

54 c \cdot e^{3 x} + 18 c \cdot e^{3 x} - 36 c \cdot e^{3 x} = 6 \cdot e \cdot^{3 x}

36 c \cdot e (3 x) = 6 \cdot e^{3 x} \to 36 \cdot e^{3 x} = 6 \cdot e^{3 x}

und somit geht dir probe nicht auf?!

was habe ich falsch gemacht, wie genau muss ich dir probe durch führen damit rechts und links das gleiche steht?

Loewe1

17:14 Uhr, 19.10.2014

Hallo,

die homogene Lösung stimmt.

der Ansatz für die partikuläre Lösung lautet:

y_{p} = A \cdot e^{3 x}

Ansatz entweder durch eine Tabelle oder die Formel:

y_{p} = A x^{k} \cdot e^{α \cdot x}

K

ist die Vielfachheit , ist in unserem Fall

= 0

(Grund: die

3

in der Störfunktion ist nicht Bestandteil der Lösung der charakteristischen Gleichung)

ida9675 aktiv_icon

17:44 Uhr, 19.10.2014

wenn ich den ansatz mit yp=

A \cdot e^{3 x}

ist ja nur die kostante 2 weg.

am Ende steht bei der probe immer noch

18 \cdot e^{3 x} = 6 \cdot e^{3 x}

und das stimmt ja nicht.

Irgendwas mache ich mit der probe nicht richtig, undich möchte wissen was :-D)

Loewe1

17:50 Uhr, 19.10.2014

Das stimmt doch , aber Du hast das A weggelassen,

Es muß heissen:

18 A e^{3 x} = 6 e^{3 x}

jetzt mußt Du einen Koeffizientenvergleich durchführen.

Was hast Du denn für

y_{p}

erhalten?

Zum Verständnis:

Schauh Dir das mal an:

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