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injektiv, surjektiv, bijektiv an Beispielen zeigen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Injekltiv oder Surjektiv?

tommy40629 aktiv_icon

10:35 Uhr, 27.07.2012

Hallo,

ich habe an einer einfachen Abbildung zu zeigen ob sie injektiv oder surjektiv oder beides ist.

Ist alles unten eingescannt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Mathematica aktiv_icon

10:55 Uhr, 27.07.2012

f : ℝ \to ℝ; x \mapsto x^{3} + 3

eine Abbildung ist injektiv wenn:

\forall x, y \in D_{f :} f (y) = f (x) \Rightarrow y = x

Bei uns ist

f

injektiv, wenn

\forall x, y \in ℝ : f (y) = y^{3} + 3 = f (x) = x^{3} + 3 \Rightarrow x^{3} = y^{3} \Rightarrow x = y \Rightarrow f

injektiv.

Surjektivität:
Eine

A

. Heißt surjektiv, wenn

f [x] = {f (x) | x \in D_{f}} = W_{f}

.

Bei uns:

F

surjektiv wenn:

f [ℝ] = {f (x) | x \in X} = {x^{3} + 3 | x \in ℝ}

das ist ungleich

ℝ = W_{f \Rightarrow} f

nicht injektiv=>

f

injektiv aber nicht bijektiv.

;-)

tommy40629 aktiv_icon

11:05 Uhr, 27.07.2012

Ist f(y) die Umkehrabbildung von f(x)?

Weil das in der 1. Zeile steht.

Mathematica aktiv_icon

11:28 Uhr, 27.07.2012

Hallo,
Davon habe ich nichts gesagt.
Die Umkehrabbildung berechnet man wie folgt:
Du vertauschst

x

und

y

. Jetzt löst du nach

y

auf, und erhälst di Umkehrabbildung.
Beispiel:

y = x^{2} + 2 x

x = y^{2} + 2 y (

jetzt

p - q

Formel )

\Rightarrow 0 = y^{2} + 2 y - x \Rightarrow y = - 1 \pm \sqrt{1 - x}

Vesuch mal mit

f (x) = ln (4 + x) - ln (4 - x) (

das ist etwas schwieriger)

;-)

tommy40629 aktiv_icon

11:31 Uhr, 27.07.2012

eine Abbildung ist injektiv wenn:
$\forall x, y \in D_{f :} f (y) = f (x) \Rightarrow y = x$

$War mein Nachweis denn ok? Im Übungsbuch sind leider nur die Lösungen. Da steht dann auch f ist bijektiv.$

tommy40629 aktiv_icon

11:34 Uhr, 27.07.2012

Ich glaube das f(y) ist das Gleiche wie f(a), f(b), f(x).

Bin durch meinen Analyis Prof etwas verwirrt.

Ich werd die Aufgabe danna auch einscannen...

Mathematica aktiv_icon

11:39 Uhr, 27.07.2012

Hallo,
Ja scan die Frage ruhig wieder ein. Nein,

f (y)

ist in diesem Fall nicht das bild, es ist aus

D_{f =} ℝ

. Du denkst bei

f (y)

bei

y

bestimmt an

y = f (x),

dann wäre es dasBild, aber nehm beim nachweisen der Injektivität liber

ω

. Ich habe jetzt mal

y

genommen, weil ich

ω

vorher irgendwie nicht schreiben konnte, also die umwandlung ist nicht passiert) hoffe ich habe mich verszändlich formuliert.

;-)

Underfaker aktiv_icon

12:07 Uhr, 27.07.2012

Dein Nachweis für Injektivität ist vom Grundsatz ok, allerdings ist die Form fragwürdig.

f : ℝ \to ℝ

mit

f (x) = x^{3} + 3

z

\forall x_{1}, x_{2} \in ℝ : f (x_{1}) = f (x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2}

Sei

x_{1}, x_{2} \in ℝ

mit

f (x_{1}) = f (x_{2})

dann:

x_{1}^{3} + 3 = x_{2}^{3} + 3 \Leftrightarrow x_{1}^{3} = x_{2}^{3} \Leftrightarrow x_{1} = x_{2}

\Rightarrow f

injektiv

Was du bei deinem Nachweiß für die Surjektivität gemacht hast weiß ich nicht.

@ Mathematica

" Bei uns:

F

surjektiv wenn:

f [ℝ] = {f (x) | x \in X} = {x^{3} + 3 | x \in ℝ}

das ist ungleich

ℝ = W_{f \Rightarrow} f

nicht injektiv=>

f

injektiv aber nicht bijektiv. "

Hast du dich verschrieben? Aus

f

nicht injektiv folgt

f

injektiv.

Allerdings selbst wenn dort surjektiv stehen sollte wäre es falsch, denn

f

ist gearde surjektiv und ergo auch bijektiv.

tommy40629 aktiv_icon

12:09 Uhr, 27.07.2012

Ich habe das gerechnet, siehe die Bilder.

bijektiv im angegebenen Definitionsbereich.

tommy40629 aktiv_icon

12:11 Uhr, 27.07.2012

@ Underfaker

bei surjektiv habe ich versucht die Definition anzuwenden, da die Definitionen ja allgemein gelten.

Ich finde es nur immer sehr schwer die Beispiele "in die Definition zu pressen".

Wenn man das irgend wann mal kann, dann ist das bestimmt Alles viel leichter.

Underfaker aktiv_icon

12:19 Uhr, 27.07.2012

Vielleicht hilft dir ja mal so eine Denkweise:

lim_{x \to \infty} f (x) = \infty

lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty

f

Polynom ist

f

insbesondere stetig und deshalb werden alle Elemente aus

ℝ

als Funktionswerte angenommen

\Rightarrow f

surjektiv.

tommy40629 aktiv_icon

12:26 Uhr, 27.07.2012

Wir haben noch gelernt, wenn f streng monoton fallend oder steigent ist, dann injektiv. Und surjektiv zeigt man mit dem Zwischenwertsatz.

Underfaker aktiv_icon

12:32 Uhr, 27.07.2012

Die Injektivität hattest du zwar schon aber das ist natürlich auch legitim.

Wie wir bereits gesehen haben ist

f

stetig wobei für die Ableitung gilt:

f' (x) = 3 x^{2}

und somit ist

\forall x \in ℝ \ {0} f' (x) > 0

und für

x = 0

ist

f' (x) = 0

.

Einzelne Nullstellen sind bei strenger Monotonie erlaubt, insgesamt ist also

f

streng monoton steigend. (Analog bei Wikipedia nachzulesen am Beispiel von

f (x) = x^{3})

\Rightarrow f

injektiv

Und das Andere steht ja bereits in meinem Vorpost.

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