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injektiv, surjektiv oder bijektiv?
Schüler Fachoberschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Abbildung
 
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Hallo Leute, ich brauche mal eure Hilfe bei dieser Aufgabe und zwar ich soll untersuchen, ob die folgenden Abbildungen injektiv, surjektiv oder bijektiv sind. Und im Fall einer Bijektion muss ich dann die zugehörige inverse Abbildung angeben. Was ich weiß: Eine Funktion ist injektiv, wenn es in der Wertemenge keine Elemente gibt, bei denen zwei oder mehr Pfeile ankommen. Eine Funktion ist surjektiv, wenn alle Elemente aus der Wertebereich mindesten einmal erwischt werden. Es kann auch oft erwischt werden! Und bijektiv ist ja wenn eine Funktion surjektiv und bijektiv Meine Frage: Wie kann ich diese Aufgabe angehen? danke im Voraus Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Das hört sich aber sehr nach LA 1 an. Du brauchst erst einmal eine Definition um das zu zeigen. Euer Prof muss Euch welche gegeben haben. ( Dann mußt Du wissen, wie man eine Definition auf ein Problem anwendet. Das ist wirklich sehr sehr sehr wichtig! Tschja und da jemanden finden, der Dir dieses Prinzip genau erklärt, das ist sehr schwer. ) Ich will Dir jetzt nicht meine Definitioen geben, da wir das alles im Moment auf Abbildungen von Rechts beziehen. Das würde nur verwirren. Es gibt auf Youtube die Kahn Academy, die erklären das wirklich sehr gut. |
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@tommy: Ich halte das für gar nicht so schwierig, Usavich beschreibt das doch selbst schon sehr anschaulich! @Usavich: "Eine Funktion ist injektiv, wenn alle Elemente aus der Definitionsbereich einen Pfeil rausgeht." Das ist allerdings völliger Blödsinn! Richtig wäre: Eine Funktion ist injektiv, wenn es in der Wertemenge keine Elemente gibt, bei denen zwei oder mehr Pfeile ankommen. |
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Ich stimme dir zu, unser Prof hat paar Definiton zu injektiv, surjektiv und bijektiv gegeben, die ich auch nichts anfangen konnte, deshalb habe ich mich selbst schlau gemacht. Das Problem ist ja, bei a und ist das überhaupt eine Funktion? Weil ich wollte die beiden Funktionen im Geogebra zeichnen, geht irgendwie nicht. Ich habe im Geogebra gezeichnet und stelle fest, dass sie bijektiv ist Zu c)diese Funktion ist nicht eindeutig also nicht injektiv, sie ist aber surjektiv |
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@Matlog: Du hast Recht. Ich habe Unsinn geschrieben. |
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und soweit richtig; bei solltest Du noch die Surjektivität untersuchen. und sind selbstverständlich Funktionen. Du kannst doch zu jedem Paar aus genau ein Ergebnis ausrechnen. Funktionen von nach zu zeichnen, ist von der Dimension natürlich schwierig. Aber Injektivität und Surjektivität kann man sich auch ohne Graph leicht überlegen! |
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erstmal danke für deine Antwort, ich setze bei der a das Zahlenpaar ein und erhalte Das bedeutet, diese Funktion ist eine Gerade, sie ist nicht injektiv, sie ist aber widerum surjektiv. bei nehme ich mal das Zahlenpaar und setze in die Funktion ein und erhalte Das bedeutet, diese Funktion ist bijektiv. soweit nachvollziehbar oder? danke im Voraus |
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Prizipiell stimmt das so. Bei stimmt in der Notation der Funktion etwas nicht. Vermutlich soll es heißen: oder? Als "Gerade" würde ich das aber nicht bezeichnen. Fakt ist: also nicht injektiv. Die Funktion in ist tatsächlich bijektiv, aber |
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Ist die Funktion in wirklich surjektiv? |
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Laut Übungsblatt, welches Prof uns gegeben hat, steht bei der Aufgabe . Ist aber merkwürdig, wie du schon erwähnt hast. Ja bei stimme ich dir zu, ist ungleich Bei der Aufgabe ist die Funktion schon mal nicht injektiv, da sie eine Parabel mit der Scheitel 1 ist. Also injektiv ausgeschlossen. Du hast Recht. Sie ist auch nicht surjektiv, da sie eine Parabel, die über Achse verläuft. |
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Die Funktion a ist nicht injektiv aber surjektiv oder? Sie ist keine Gerade? Warum nicht? |
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Richtig, nicht injektiv, aber surjektiv. Als Funktion könnte man dies in einem dreidimensionalen Koordinatensystem darstellen. ergibt dort eine Ebene. |
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Alles Klar, das hört sich nach Vektorrechnung an. Das Thema haben wir bisher noch nicht gehabt. Ich weiß bescheid. Die Funktion aus der Aufgabe ist ja bijektiv, nun muss ich bei Bijektivität eine zugehörige inverse Abbildung angeben. Das bedeutet, ich soll eine Umkehrfunktion von rausfinden oder wie? Edit: Und ist nicht injektiv und nicht surjektiv, stimmt? Danke im Voraus |
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Ja, genau! |
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Ok alles Klar (bijektive Funktion) Umkehrfunktion bestimmen: Sieht bisschen komisch aus, aber sitmmt das?:-) |
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Wie löst man denn nach auf? Für die Notation der Umkehrfunktion vertauscht man dann normalerweise die Namen von und um die übliche Darstellungsweise einer Funktion zu erhalten. |
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Oh ich habe da einen Fehler gemacht, es muss doch heißen. |
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Ja, gleichbedeutend mit . |
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Das ist schon die Umkehrfunktion zu b?. Damit haben doch die inverse Abbildung gefunden? |
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Ja, ich würde schreiben: |
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Alles Klar. Kurz zu der Aufgabe wir haben ja herausgefunden, dass sie auch bijektiv ist. Einmal da ist ungleich (-5,1).Und Surjektiv, erkennt man doch auch aus der Notation dass alle Element aus der Wertebereich erwischt werden. Wenn wir jetzt so ne als Mengen betrachten würden. Und in den beiden Mengen sind dann elemente aus . Also jedes Element aus gehen einen Pfeil raus zu element aus der anderen Menge . Versteht du, was ich vielleicht meine? |
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Also . Du hattest das um Uhr nur falsch notiert. Ich verstehe, was Du meinst, auch wenn das kein mathematischer Beweis ist. Eigentlich reicht es schon, wenn Du die Umkehrfunktion angibst (und zeigst, dass sie tatsächlich eine ist). |
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ah ok und wie solle ich jetzt eine Umkehrfunktion zu rausfinden? danke |
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Na ja, was macht denn die Funktion j? Sie vertauscht und und ändert an dem ursprünglichen noch das Vorzeichen. Wie macht man das rückgängig? Man vertauscht wieder die Komponenten und ändert an der richtigen Stelle das Vorzeichen. Hilft Dir das? |
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Ich probiere es einfach mal. Sicher bin ich leider nicht. |
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Ja, perfekt! |
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Achso na super hehe Und jetzt die letzte Frage, wie macht man denn Beweis bei der Aufgabe dass sie surjektiv ist? (Einfach nur Beispiel, möchte nur wissen):-) |
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Für die Surjektivität von muss man zeigen, dass für jedes ein Urbild existiert. Es gilt ja beispielsweise für jedes beliebige . Das beweist die Surjektivität. |
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Und das soll ich bei der Aufgabe a machen. Die Surjektivität beweisen? |
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Ja, so sieht ein formaler Beweis der Surjektivität der Funktion aus aus! |
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Ah ok, werde ich heute abend noch machen. Ich poste dann die Antwort, wenn ich sie habe.Ich muss kurz leider andere Dinge machen. Trotzdem an dieser Stelle, vielen vielen Dank, dass du mit mir die Aufgabe gelöst hast. Hat richtig Spaß gemacht. So macht das Lernen einfacher. Wünsche dir noch einen schönen Abend. Edit: Ich schließe diesen Beitrag noch nicht. Erst, wenn ich die Lösung habe. Ist das ok? |
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Ja, klar! |
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Weil irgendwer die Definitionen wollte, sry, habe mir nicht alles durchgelesen, habt ja schon viel gemacht: injektiv Eine Funktion heißt injektiv, wenn für alle mit gilt: Eine Funktion heißt surjektiv, wenn für alle ein vorhanden ist. Eine Funktion heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv wie auch surjektiv ist. Somit kann . nicht surjektiv sein, da durch das Quadrat keine negativen erfasst werden. Ausserdem haben und 1 den Wert und damit ist die Funktion auch nicht injektiv. Es wird also 1. nicht die ganze Wertemenge erfasst und 2. wird nicht jedem Wert GENAU ein Wert zugeordnet. Die Funktion ist also weder noch. und checke ich nicht und dürfte bijektiv sein. Ein anderes hat auch ein anderes und jeder y-Wert wird erreicht. |
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@Christian09 danke für die Infos:-) @Matlog ich komme leider nicht weiter:( |
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Bei welchem Aufgabenteil kommst Du nicht weiter? |
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Beweise der Surjektivität aus der Aufgabe . Edit: Ich habe versucht, mir das selbstständig beizubringen, aber leider ohne Erfolg:( |
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Lies bitte, was ich gestern um Uhr geschrieben habe. Das ist der komplette Beweis der Surjektivität von . Nochmal: Zu jedem beliebigen Element der Bildmenge gibt man ein Urbild aus an, welches auf abgebildet wird: wird auf abgebildet, oder auch wird auf abgebildet, oder... |
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Hi Matlog, Wir sind jetzt einverstanden, dass der Prof einen Fehler bei der Aufgabe a gemacht hat, das muss nämlich heißen. . Das Urbild von ist . Die Elemente aus heißen . die Variable bleibt ja unverändert ne? Und muss ich außerdem bei usw machen? danke im voraus |
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Deine letzte Zeile erscheint mir sehr wirr. Mein Eindruck: Du hast Surjektivität noch nicht verstanden. Für Surjektivität musst Du für jedes Element der Bildmenge (ich nenne dieses beliebige Element Du kannst es gerne auch nennen) ein Urbild nennen, das auf dieses Element der Bildmenge abgebildet wird. Also besteht die Aufgabe darin, zu dem beliebigen ein Urbild in zu finden. . das Paar tut genau dies, wegen . |
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Achso, das gibt es nur ein Zahlenpaar mit ? |
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Es gibt noch viele andere Zahlenpaare, die auch auf mein vorgegebenes abgebildet werden, . . Dass es noch andere Zahlenpaare gibt beweist, dass nicht injektiv ist. |
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Alles klar, das Zahlenpaar ist halt das Standardzahlenpaar ne? Es reicht schon aus, wenn man mit dem Zahlenpaar(z,0) beweist? |
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Welches (passende) Zahlenpaar ist völlig egal. Für die Surjektivität muss nur immer eins existieren. |
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Muss ich auch im Falle injektivität beweisen? |
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Sorry, ich verstehe die Frage nicht! |
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Ich meine, es gibt ja surjektiv, bijektiv und injektiv. Meine Frage war, ob ich im Fall injektiv auch wie surjektiv beweisen muss. |
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Ne ich nehme alles zurück. Eine Abbildung muss mindensten injektiv sein, sonst ist sie keine Abbildung. |
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Du meinst, ob Du bei der Funktion aus Teil die Injektivität beweisen musst? Streng genommen natürlich ja! Du kannst das eher formal begründen. Mir würde es aber auch ausreichen, wenn Du angibst, dass der Graph keine Punkte nebeneinander auf gleicher Höhe enthält. "Eine Abbildung muss mindensten injektiv sein, sonst ist sie keine Abbildung." Das ist nun wieder völliger Quark! |
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Alles klar "Eine Abbildung muss mindensten injektiv sein, sonst ist sie keine Abbildung." habe ich irgendwo mal gehört. Also eine Funktion muss linkseindeutig sein, sonst ist sie keine Funktion. Bin aber leider nicht sicher. |
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Ja, wenn es zu einem mehrere gibt, dann ist es keine Funktion. Injektivität bedeuted hingegen, dass es zu einem nicht mehrere geben darf. |
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Alles Klar, wieder sehr gute Definition von dir, das merke ich mir.:-) Nun kommen wir wieder zu der Aufgabe . ich schreibe einfach nur oder wie? |
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Die Definitionen stammen nicht von mir! ;-) Du kannst das so schreiben. Du solltest aber deutlich machen, dass Du zunächst das beliebige vorgibst und dazu ein Urbild gefunden hast. |
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Ich raffe das Zahlenpaar (z,0):-) aber nicht |
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Auf was wird denn abgebildet? |
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? |
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Wie bitte??? |
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ich habe 37,37)geantwortet, da sie aus der Menge ist. Ich habe schon dass Gefühl, dass es falsch ist. Nun versuche ich noch einmal mit ? |
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Ich bin ein Idiot:-) Ich schreibe bei der a einfach so: gesucht: Urbild von aus der Menge |
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Bravo! Genau das ist der Beweis der Surjektivität. |
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Bei ger Aufgabe gilt diese Aussage dann auch, stimmt? |
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Welche Aussage soll bei auch gelten? Die Funktion ist weder injektiv noch surjektiv! |
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Ja stimmt, es tut mir leid. Wir haben doch korrigiert. Alles klar. Somit ist die ganze Aufgabe bearbeitet worden.:-) |
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Haha Matlog, Mathegott :-D) Musst schon sehr alt sein ;-) - jetzt weiß ich wenigstens, wer schuld daran ist, dass wir alles lernen müssen ;-)! Usavich - mach dir nochmal die von mir niedergeschriebenen Definitionen klar. Hatte ich glaube ich auch vereinfachend geschrieben. Nochmal zusammengefasst: Injektiv: Wenn dann muss auch für gelten muss. Also dürfen nicht zwei verschiedenen x-Werten der gleiche y-Wert zugeordnet werden. Dies geschieht . bei hier sind . die x-Werte und . und die Funktion somit nicht injektiv Surjektiv bedeutet, dass jedem y-Wert ein x-Wert zugeordnet werden muss. Es darf also kein y-Wert in deiner definierten Menge vorhanden sein, der nicht getroffen wird. Wenn . aber die Funktion ist, so wird die Zielmenge niemals erreicht. Es sollen laut meiner Definition alle negativen Werte für getroffen werden. Werden sie durch diese Funktion aber nicht, da nur positive Werte vorhanden sind. Also ist die Funktion bei dieser Definitionsmenge nicht injektiv. Bijektiv fasst beides zusammen: Kein y-Wert darf zwei verschiedenen x-Werten zugeordnet werden und es darf keinen y-Wert (aus der definierten Menge) geben, der nicht durch einen x-Wert getroffen wird. |
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@Christian09: Ich bin scheinbar schon so extrem alt, dass ich Deine Bemerkungen (zu mir) nicht wirklich verstehe. Immerhin hast Du Deine Ausführungen zur Injektivität gerade noch editiert. Das neue Beispiel mit ist nicht gut, da gar nicht in liegt. mit wäre ein gutes Beispiel, wo nicht surjektiv ist (und nicht injektiv). |
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@Matlog ch bedanke mich wirklich für deine Hilfe. Deine Hilfe hat mir sehr viel gebracht. Ich wünsche, mein Prof würde genau so erklären wie du:-) |
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Wegen "Deiner" Definition ;-) - den Spaß hattest du doch angestossen :-D) |
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Ah, jetzt versteh ich! (Das dauert bei älteren Herrschaften oft etwas länger...) |
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