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Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

Jennj aktiv_icon

22:12 Uhr, 18.04.2016

hallo,

eine gegebene Funktion soll ich auf Injektivität,Surjektivität und Bijektivität untersuchenund haben gerade damit angefangen und viel weiss ich noch nicht darüber.wie gehe ich an so eine Aufgabe ran?

Im Anhang die Aufgabenstellung

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Atlantik aktiv_icon

04:29 Uhr, 19.04.2016

Beweis zur Injektivität:

Schau mal, ob es eine Umkehrfunktion gibt.

Seite

32 :

http//www.math.uni-hamburg.de/teaching/export/tuhh/cm/a1/0607/vorl03_ana.pdf

mfG

Atlantik

Jennj aktiv_icon

16:24 Uhr, 19.04.2016

hallo,

leider habe ich von dem skript noch net viel verstannden, aber ich habe es einmal graphisch gezeicht und da verläuft die funktion vom 2. in den 1. quadranten.ich bin mir nicht ganz sicher,doch wenn es eine umkehrfunktion geben würde, müsste man sie ja an der

x

achse spiegeln und ich denke nicht das sie umkehrbar ist.

Jennj aktiv_icon

16:44 Uhr, 19.04.2016

ich denke ich muss doch die funktion umstellen, also

y = \frac{1}{x^{2} + 1}

und nach

x

umgestellt

x = \frac{1}{\sqrt{y} - 1}

IPanic aktiv_icon

18:15 Uhr, 19.04.2016

Hallo,
falls

f

injektiv ist, dann muss gelten:

\forall x, y \in ℝ_{+}

mit

f (x) = f (y) \Rightarrow x = y

Du musst also zeigen, dass

\frac{1}{x^{2} + 1} = \frac{1}{y^{2} + 1} \Rightarrow x = y

Beweis:

\frac{1}{x^{2} + 1} = \frac{1}{y^{2} + 1} \Leftrightarrow x^{2} + 1 = y^{2} + 1 \Leftrightarrow x^{2} = y^{2} \Leftrightarrow | x | = | y |

x, y \geq 0

folgt

| x | = x

und

| y | = y

und damit ist

f

injektiv.

Du kannst auch nutzen, dass

f

streng monoton fallend ist in

ℝ_{> 0}

und damit zeigen, dass

f

injektiv ist.
Beweis:

f

ist differenzierbar auf

ℝ_{+}

mit

f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

und

f' (x) < 0

für alle

x \in ℝ_{> 0}

Daraus folgt, dass für alle

x_{1}, x_{2} \in ℝ_{> 0}

mit

x_{1} < x_{2}

gilt

f (x_{1}) > f (x_{2})

und somit ist für beliebige

x, y \in ℝ_{> 0}

für

x \neq y \Rightarrow f (x) \neq f (y)

.
Insbesondere ist

f (0) = 1

und wie sich schnell nachprüfen lässt, ist

f^{- 1} (1) = {0}

und somit

f

injektiv.

Atlantik aktiv_icon

18:23 Uhr, 19.04.2016

Die Funktion ist nur im 1.Quadranten wegen

x \geq 0

definiert

y = \frac{1}{x^{2} + 1}

y \cdot (x^{2} + 1) = 1

y \cdot x^{2} + y = 1

y \cdot x^{2} = 1 - y

x^{2} = \frac{1 - y}{y}

x

getauscht mit

y

y^{2} = \frac{1 - x}{x}

1 .) y = \sqrt{\frac{1 - x}{x}}

2 .) y = - \sqrt{\frac{1 - x}{x}}

nicht im Def.bereich.

In der Zeichung siehst du, dass der Graph der Funktion (mit rot) an

y = x

gespiegelt wird. Den Graphen der Umkehrfunktion habe ich grün gezeichnet. Er liegt auch im 1. Quadranten.

mfG

Atlantik

Jennj aktiv_icon

20:36 Uhr, 19.04.2016

das heisst ich muss immer drauf achten wie der definitions und der wertebereich definiert ist.nicht so einfach momentan.und wie ist es denn mit der surjektivität?

bedeutet es dann das mein wertebereich auch

ℝ_{+}

sein muss?

Sina86

21:04 Uhr, 19.04.2016

Hallo,

also, ich muss hier mal ein wenig Kritik an der Herangehensweise von Atlantik üben, denn die Aufgabenstellung scheint darauf abzuzielen, die Frage zur Injektivität und Surjektivität sauber zu bearbeiten. Das "Errechnen" einer Umkehrfunktion ist hier die falasche Herangehensweise, denn wie aus der Aufgabenstellung hervorgeht, ist die Funktion nicht surjektiv und somit existiert auch keine Umkehrfunktion (das Herstellen der Surjektivität ist ja der zweite Teil der Aufgabe). Das Herumrechnen ist eine Nebenrechnung, die man auf einem Schmierzettel machen kann aber mathematisch nicht sauber. Zumal aus der Grafik nicht hervorgeht, unter welchen Umständen überhaupt eine Umkehrbarkeit gegeben ist, sie kann einem hier nur eine Idee zur Lösung geben.

Eine Funktion

g : D \to W

ist bijektiv, wenn sie auf ganz

D

injektiv ist (also keine zwei Punkte im Definitionsbereich

D

denselben Funktionswert haben) und wenn sie auf ganz

W

surjektiv ist (also jeder Punkt im Wertebereich

W

mindestens einmal von der Funktion

g

angenommen wird). Dann existiert eine Umkehrfunktion

g^{- 1} : W \to D

.

Injektivität hat also etwas mit dem Definitionsbereich zu tun, Surjektivität hat etwas mit dem Wertebereich zu tun. Die Frage der Injektivität wurde oben von IPanic bereits diskutiert.

Für die Surjektivität musst du dir nun also überlegen, welche Einschränkung du am Wertebereich vornehmen musst. Du musst also Überlegen, welche Werte von der Funktion

f

überhaupt angenommen werden. Der gesuchte Wertebereich, auf der die Funktion dann surjektiv ist, ist dann der Bereich mit genau allen angenommenen Werten und keinen mehr und keinen weniger. Die Antwort

ℝ_{+}

ist hier im übrigen nicht richtig.

Erst danach könnte man sich Gedanken zur tatsächlichen Funktionsvorschrift der Umkehrfunktion machen, dann würde die Vorgehensweise von Atlantik weiterhelfen.

Grüße
Sina

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