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innere Karte Untermannigfaltigkeit
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Differentialgeometrie
Tags: Algebraische Topologie, Sonstiges
 
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hallo, eine frage aus dem vordiplom mathe für physiker: warum ist die innere karte (bei Mannigfaltigkeiten) diffbar, und warum brauchen wir dann die äußere und wie kommt mann von der einen zur anderen? |
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hmmm..kann niemand helfen? also heut hab ich in erfahrung gebracht, dass die innere diffbar ist, weil sie ja von einem abgeschlossen auf ein abgeschlossenes gebiet abbildet, die äußere ja von einem offen auf ein offenes...ist das den jetzt auch eine definition von differenzierbarkeit, dass es nur auf abgeschlossenen intevallen geht? wusste ich gar nicht..stimmt das?? |
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Die innere geht ja von einer offenen in eine offene Menge und die ist auch differenzierbar. Ist also genau umgekehrt. Das macht ja auch Sinn, weil bei einer geschlossenen Menge die Funktion am Rand nicht differenzierbar sein kann (da gibt es den Grenzwert des Differenzenquotienten nur von innen aber nicht mehr von außen, also kann man gar keine Ableitung definieren). Aber die Offenheit der Menge ist natürlich keine ausreichende Voraussetzung für Differenzierbarkeit sondern nur eine notwendige. Wir haben in unserer Mathe für Physiker Koordinatentrafos gerade als -Diffeomorphismen definiert, die Frage nach der Differenzierbarkeit wäre also mit einem Verweis auf die Definition geklärt. Intuitiv ist es ja irgendwie klar, dass eine Koordinatentrafo schön glatt differenzierbar sein muss, damit durch einen Koordinatenwechsel nicht irgendwelche Unstetigkeiten auftauchen, die davor nicht da waren. Wobei dafür wohl auch schon Stetigkeit reichen würde... Anscheinend kann irgendwas Böses passieren, wenn die Trafo nur stetig aber nicht differenzierbar ist. :-) |
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hmmm, sind da unsere definitionen verschieden oder seh ich das einfach nicht. für mich geht die innere karte: h:U-->U´, U=schnittmenge einer umgebung um und (M=k-dimensionale Fläche), die äußere W-->W´. also denke ich mir das so, dass diese Umgebung offen ist, und abgeschlossen (da ja schnittmenge und M)...?!? |
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Also ich muss dazu sagen, dass ich Differentialgeometrie noch überhaupt nicht gehört habe und deswegen zwar ganz grob eine intuitive Vorstellung habe, worum es geht, die Definitionen einer inneren und äußeren Karte aber z.B. nicht kenne. Deswegen bezog ich mich nicht unbedingt auf die Karten sondern auf Koordinatentrafos, was ja im Prinzip ein Spezialfall einer Karte sein dürfte, oder? Ganz allgemein ist mir in unserer Mathe für Physiker Vorlesung aufgefallen, dass alle differenzierbare Funktionen auf offenen Mengen definiert waren, eben damit keine Probleme mit der Differenzierbarkeit auf dem Rand entstehen. Wie das bei Karten anzuwenden ist, weiß ich leider noch nicht. :-) |
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