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inneres semidirektes Produkt + Homomorphismus

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: direkte Produkte, Gruppen

Berenike aktiv_icon

21:34 Uhr, 13.11.2020

Definition: Es sei

G

eine Gruppe,

N ⊴ G

und

H \leq G

. Man sagt, G sei das (innere) semidirekte Produkt von

N

und

H,

wenn

G = N H

und

N \cap H = {e} .

"Zu zeigen: Die Abbildung

θ : H \to A u t (N), h \mapsto θ_{h} .

ist ein Homomorphismus. Dabei sei

θ_{h} : N \to N

durch

θ_{h} (n) = h n h^{- 1}

gegeben."

Da wir hier ein Element auf eine Menge von Abbildungen abbilden, bin ich mir nicht sicher was zu zeigen ist.

Zunächst, kann man

θ (h) = h n h^{- 1}

ansetzen? Wenn ja, dann sollte ja

θ (h_{1} h_{2}) = θ (h_{1}) θ (h_{2})

zu zeigen sein, oder?

Aber es gilt doch

θ (h_{1} h_{2}) = h_{1} h_{2} n h_{2}^{- 1} h_{1}^{- 1}

und andererseits

θ (h_{1}) θ (h_{2}) = h_{1} n h_{1}^{- 1} h_{2} n h_{2}^{- 1} .

Aber wir haben keine Voraussetzung die uns sagt, dass diese beiden Ausdrücke nun übereinstimmen müssen. Also bin ich mir nicht mehr sicher ob ich verstanden habe was genau zu zeigen ist?

Wäre für kurze Hilfe froh und dankbar!

Gruß,
Berenike

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