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invariante Verteilungen

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Tags: Erwartungswert, test, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

 
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Looris96

Looris96 aktiv_icon

18:14 Uhr, 10.01.2020

Antworten
Ich habe mal ein paar Fragen zu den Invarianten Verteilungen bei Markovketten..

Nehmen wir mal an, dass wir folgende Übergangsmatrix U haben:

U=(100141214001)

Nun sollen wir zeigen, dass es mehr als eine Invariante Verteilung der Markovkette gibt und alle Invarianten Verteilungen bestimmen.

Okay:

Wir wissen, dass eine Invariante Verteilung π folgende Form hat:

πU=π

Das, was ich dann rausbekomme, wenn ich ein LGS löse, ist ja eine Lösung. Eine weitere könnte π=0 sein. Aber was sind denn die weiteren invariante Verteilungen..?

Es spielt ja auch eine Rolle, ob π links oder rechts dran multipliziert wird.. Ist das eventuell damit gemeint?

Eine weitere Aufgabe ist es, zu zeigen, dass limnPn existiert und die Grenzmatrix zu bestimmen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
pivot

pivot aktiv_icon

18:34 Uhr, 10.01.2020

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Hallo!

>>Es spielt ja auch eine Rolle, ob π links oder rechts dran multipliziert wird.<<

Richtig. In diesem Fall hast du aber richtig rum mulipliziert.

Wenn du alles auf die linke Seite bringst (rechte Seite=0) siehst du, dass die Gleichungen linear abhängig sind. Das ist in der Regel so. Du kannst jetzt verwenden, dass p1+p2+p3=1 ist und eine der drei Gleichungen durch diese ersetzen.

Gruß

pivot
Looris96

Looris96 aktiv_icon

19:36 Uhr, 10.01.2020

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Hallo,

wie ich die Invariante Verteilung ausrechne, ist mir bewusst :-)
Mich interessiert viel mehr die Frage, wie man sehen kann oder wie es generell möglich ist, dass es mehrere Lösungen für π gibt.

In der Aufgabe heißt es ja, dass man alle Invarianten Verteilungen angeben soll..

Antwort
pivot

pivot aktiv_icon

19:50 Uhr, 10.01.2020

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Was heißt hier sehen. Einfach ausrechnen. Das scheinst du ja, laut eigener Aussage, zu beherrschen.
Looris96

Looris96 aktiv_icon

21:23 Uhr, 10.01.2020

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Also:

invariante Verteilung wird bestimmt durch: πU=π

Daraus folgt:

1:ν1+14ν2=v1
2:12ν2=ν2
3:14ν2+ν3=ν3
4:ν1+ν2+ν3=1

Umformen ergibt:


1. ν1=ν1
2. ν2=0
3. ν3=ν3

Eingesetzt in 4. gibt:

ν1+ν3=1

Und nun?
Antwort
pivot

pivot aktiv_icon

21:49 Uhr, 10.01.2020

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Soweit richtig. Damit ist v3=1-v1. Setzt man v1=t, dann ist die stationäre Verteilung (v1*,v2*,v3*)=(t,0,1-t)


Looris96

Looris96 aktiv_icon

12:44 Uhr, 11.01.2020

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Okay. Also wenn keine eindeutige Lösung als Invariante Verteilung rauskommt, sondern sowas wie hier (ν1=ν1...), dann setzen wir einen Wert als Variable (t) und geben die Invariante Verteilung also in Abhängigkeit an.

Das versteht man also darunter, zu zeigen, dass es MEHR als eine gibt, was hier ja der Fall ist, da wir t ja beliebig wählen können, und alle geben wir damit also auch an, okay.

Nun zum limes..
Wie kann man denn zeigen, dass dieser existiert?
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

13:30 Uhr, 11.01.2020

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> Eine weitere Aufgabe ist es, zu zeigen, dass limnPn existiert und die Grenzmatrix zu bestimmen.

Rechne doch einfach mal die ersten paar Potenzen aus, stelle eine Vermutung für eine "explizite" Formel dieser Potenz auf (d.h. als Funktion von n), und beweise diese per Vollständiger Induktion. Damit ist es dann ein leichtes, auch die Grenzwertmatrix zu bestimmen.