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invariante Verteilungen

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Tags: Erwartungswert, test, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

anonymous

18:14 Uhr, 10.01.2020

Ich habe mal ein paar Fragen zu den Invarianten Verteilungen bei Markovketten..

Nehmen wir mal an, dass wir folgende Übergangsmatrix

U

haben:

U = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Nun sollen wir zeigen, dass es mehr als eine Invariante Verteilung der Markovkette gibt und alle Invarianten Verteilungen bestimmen.

Okay:

Wir wissen, dass eine Invariante Verteilung

π

folgende Form hat:

π \cdot U = π

Das, was ich dann rausbekomme, wenn ich ein LGS löse, ist ja eine Lösung. Eine weitere könnte

π = 0

sein. Aber was sind denn die weiteren invariante Verteilungen..?

Es spielt ja auch eine Rolle, ob

π

links oder rechts dran multipliziert wird.. Ist das eventuell damit gemeint?

Eine weitere Aufgabe ist es, zu zeigen, dass

lim_{n \to \infty} P^{n}

existiert und die Grenzmatrix zu bestimmen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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18:34 Uhr, 10.01.2020

Hallo!

>>Es spielt ja auch eine Rolle, ob π links oder rechts dran multipliziert wird.<<

Richtig. In diesem Fall hast du aber richtig rum mulipliziert.

Wenn du alles auf die linke Seite bringst (rechte Seite=0) siehst du, dass die Gleichungen linear abhängig sind. Das ist in der Regel so. Du kannst jetzt verwenden, dass

p_{1} + p_{2} + p_{3} = 1

ist und eine der drei Gleichungen durch diese ersetzen.

Gruß

pivot

anonymous

19:36 Uhr, 10.01.2020

Hallo,

wie ich die Invariante Verteilung ausrechne, ist mir bewusst :-)
Mich interessiert viel mehr die Frage, wie man sehen kann oder wie es generell möglich ist, dass es mehrere Lösungen für

π

gibt.

In der Aufgabe heißt es ja, dass man alle Invarianten Verteilungen angeben soll..

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19:50 Uhr, 10.01.2020

Was heißt hier sehen. Einfach ausrechnen. Das scheinst du ja, laut eigener Aussage, zu beherrschen.

anonymous

21:23 Uhr, 10.01.2020

Also:

invariante Verteilung wird bestimmt durch:

π \cdot U = π

Daraus folgt:

1 : ν_{1} + \frac{1}{4} ν_{2} = v_{1}

2 : \frac{1}{2} ν_{2} = ν_{2}

3 : \frac{1}{4} ν_{2} + ν_{3} = ν_{3}

4 : ν_{1} + ν_{2} + ν_{3} = 1

Umformen ergibt:

1.

ν_{1} = ν_{1}

ν_{2} = 0

ν_{3} = ν_{3}

Eingesetzt in 4. gibt:

ν_{1} + ν_{3} = 1

Und nun?

pivot aktiv_icon

21:49 Uhr, 10.01.2020

Soweit richtig. Damit ist

v_{3} = 1 - v_{1}

. Setzt man

v_{1} = t

, dann ist die stationäre Verteilung

(v_{1}^{*}, v_{2}^{*}, v_{3}^{*}) = (t, 0, 1 - t)

anonymous

12:44 Uhr, 11.01.2020

Okay. Also wenn keine eindeutige Lösung als Invariante Verteilung rauskommt, sondern sowas wie hier

(ν_{1} = ν_{1} ...),

dann setzen wir einen Wert als Variable

(t)

und geben die Invariante Verteilung also in Abhängigkeit an.

Das versteht man also darunter, zu zeigen, dass es MEHR als eine gibt, was hier ja der Fall ist, da wir

t

ja beliebig wählen können, und alle geben wir damit also auch an, okay.

Nun zum limes..
Wie kann man denn zeigen, dass dieser existiert?

HAL9000

13:30 Uhr, 11.01.2020

> Eine weitere Aufgabe ist es, zu zeigen, dass

lim_{n \to \infty} P^{n}

existiert und die Grenzmatrix zu bestimmen.

Rechne doch einfach mal die ersten paar Potenzen aus, stelle eine Vermutung für eine "explizite" Formel dieser Potenz auf (d.h. als Funktion von

n

), und beweise diese per Vollständiger Induktion. Damit ist es dann ein leichtes, auch die Grenzwertmatrix zu bestimmen.

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