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inverse Relation

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Relationen

Tags: Relation.

anonymous

13:57 Uhr, 24.10.2019

Sei $R \subseteq A \times B$ eine Relation zwischen zwei beliebigen Mengen. Die inverse Relation $R^{- 1}$ zu $R$ sei wie folgt definiert: $R^{- 1} := {(b, a) \in B \times A | (a, b) \in R}$

Nun soll ich zeigen:
1. $R$ symmetrisch $\Leftrightarrow R^{- 1} \subseteq R$
2. $R$ transitiv $\Leftrightarrow R \circ R \subseteq R$

Mir ist bewusst, dass meine Relation symmetrisch ist wenn aus xRy stets yRx folgt und transitiv wenn aus xRy und yRz stets xRz folgt... Nur wie kann ich das auf meine Aufgabe anwenden?

Besten Gruß,
Ludwig Dietrich

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

14:34 Uhr, 24.10.2019

Hallo,

Symmetrie macht ja nur Sinn, wenn also $B \times A \supseteq R^{- 1} \subseteq R \subseteq A \times B$ gilt. In der Folge macht das nur Sinn, wenn $A \subseteq B$ UND $B \subseteq A$ , also $A = B$ gilt.

Davon gehen wir in 1. mal aus.

" $\Rightarrow$ ": Sei $R$ symmetrisch. Wir wollen zeigen, dass $R^{- 1} \subseteq R$ gilt. Seien dazu $a, b \in A = B$ mit $(b, a) \in R^{- 1}$ (oder suggestiver: es gelte $b R^{- 1} a$ ).
Das heißt, es gilt also $a R b$ .
Und weil $R$ symmetrisch ist, gilt also auch $b R a$ .
Aus $(b, a) \in R^{- 1}$ folgt also $(b, a) \in R$ , d.h. es gilt $R^{- 1} \subseteq R$ .

Versuche du jetzt mal, mit " $\Leftarrow$ " fertig zu werden.

Mfg Michael

anonymous

22:25 Uhr, 24.10.2019

Hallo Michael, danke für den Tipp. Meine Lösung für die Rückrichtung lautet:

Sei $R^{- 1} \subseteq R$ . Weiter sei $(a, b) \in R^{- 1} \subseteq R$ . Daraus folgt, dass $(a, b)$ sowohl in $R^{- 1}$ als auch in $R$ ist, $d . h$ . $(a, b) \in R$ und $(b, a) \in R \Rightarrow R$ symmetrisch.

Stimmt das soweit?

michaL aktiv_icon

08:31 Uhr, 25.10.2019

Hallo,

> Stimmt das soweit?

Ja. Allerdings wählst du $(a, b) \in R^{- 1}$ .
Stringenter wäre es, wenn du von $(a, b) \in R$ ausgegangen wärest, da ja zu zegen ist, dass $R$ symmetrisch ist.
(Insgesamt kommst du da zwar hin, aber - wie gesagt - mein Hirn findet das andere stringenter.)

Übrigens könnte die Äquivalenz auch mit $R^{- 1} = R$ gezeigt werden, d.h. folgende drei Aussagen sind äquivalent:
(i) $R$ symmetrisch
(ii) $R^{- 1} = R$
(iii) $R^{- 1} \subseteq R$

Ist denn die Vorgehensweise bei 2. jetzt klar?

Mfg Michael

anonymous

13:55 Uhr, 27.10.2019

Ja, konnte die 2. Aussage mit der Transitivität zeigen. Vielen Dank für deine Hilfe!

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