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invertierbare Matrix und Einheitsmatrix
Universität / Fachhochschule
Matrizenrechnung
Tags: Einheitsmatrix, invertierbare Matrix, Matrizenrechnung
 
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Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage: Sei K ein Körper und sei A ∈ , sodass A2 + 2A + E2 = 0. Dann ist A ist invertierbar, und = −A−2E2 . Meine Vermutung ist dass es eine falsche Aussage ist, nur leider fällt mir kein Gegenbeispiel ein.... ich wäre um jeden Tipp sehr dankbar :-) Danke im Voraus.. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, . Hattet ihr schon die jordansche Normalform? Falls ja, folgt aus für das Minimalpolynom von einer der beiden folgenden Fälle: Entweder , woraus und daraus die Invertierbarkeit folgt. Oder , woraus und daraus die Invertierbarkeit folgt. Aus der Invertierbarkeit schließt man die angegebene Gleichung für wie folgt: Wenn ihr noch keine jordansche Normalform gehabt haben solltet, dann wird es umständlicher. Mfg Michael |
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Hallo Michael, leider hatten wir die jordanische Normalform noch nicht, weswegen mir der Tipp leider nicht weiterhilft... kennst du noch eine Alternative?:-) |
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Hallo, eigentlich braucht man doch gar nichts: Wenn ist, dann ist und Also ist Inverse von A? Gruß pwm |
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Ehm, keine Ahnung ... wie finde ich denn heraus, ob es die inverse von A ist oder nicht? Ich verstehe nicht warum die inverse von A nicht einfach „nur“ -A ist sondern warum auch noch 2E abgezogen wird... vielleicht könnten sie mir ja noch einmal helfen |
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Hallo, pwmeyer hat recht, eigentlich braucht man weiter nichts. Wenn du willst, kannst du aber auch mit dem Polynom begründen, dass invertierbar sein muss. Wäre nicht invertierbar, so wäre Null ja ein Eigenwert von , d.h. teilen. Weil ja das Minimalpolynom von ist, also der (idealtechnische) Erzeuger der Menge aller Polynome , für die gilt, müsste insbesondere auch gelten, was aber nicht gilt. Ich denke aber, dass pwmeyers Zerlegung aber ohne all das auskommt. Mfg Michael |
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