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irrationale Zahlen und Ganzzahl-Brüche
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Elementare Zahlentheorie
Tags: Elementare Zahlentheorie, Irrationale Zahlen, Rationale Zahlen, Sonstig
 
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Guten Tag! Ich bin bereits in unterschiedlichsten Beweisen auf folgende Annahme gestoßen: "Eine Zahl, die entweder endlich ist oder deren Nachkommateil periodisch ist, lässt sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen." oder: "Eine unendliche Zahl ohne Periodizität im Nachkommateil lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen". Wie genau kann man das eigentlich Beweisen? Danke schonmal im Voraus! LG Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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"Eine Zahl, die endlich ist..., lässt sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen." Ich nehme an, du meinst eine Zahl mit endlicher (Nach-Komma) Darstellung. Am einfachsten (naheliegendsten) werden wir an Dezimalzahlen denken. Endliche Nachkommastellen, das heißt doch, dass wir die Nachkommastellen abzählen können. Nennen wir diese Anzahl an Nachkommastellen doch mal "m". Was wird wohl passieren, wenn wir diese Zahl mit multiplizieren? Das kann man natürlich prinzipiell mit allen Basen machen. "Eine Zahl,... deren Nachkommateil periodisch ist, lässt sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen." Na ja, was ist ? was ist ? was ist ? was ist ? . Periodizität heisst doch, dass sich ein Teil periodisch wiederholt. Auch für diese Periode werden wir wiederum die Anzahl der Perioden-Kommastellen abzählen können. Nennen wir sie wiederum "m". Was wird wohl passieren, wenn wir diese Zahl mit multiplizieren? "Eine unendliche Zahl ohne Periodizität im Nachkommateil lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen". Das ist die Definition von irrationalen Zahlen. Oder - schlichtweg - der Gegenfall zu den oben angesprochenen Fällen. |
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Danke erstmal für deine Antwort. Den zweiten Teil kann ich nicht ganz nachvollziehen aber vielleicht stehe ich auch grad auf dem Schlauch. Wenn ich . habe, wäre die Länge der Periodizität ja beliebig. Wenn Ich dein also mal bspw. auf 4 setze, multipliziere ich halt mit und erhalte . ,und dann? Habe ich halt eine neue Zahl mit genannten Eigenschaften, aber den Satz doch nicht bewiesen. Und zum letzten Teil: Eine irrationale Zahl ist einfach eine Zahl, die nicht als ganzzahliger Bruch geschrieben werden kann, soviel ist klar. Aber wie beweist man, dass diese Zahl dann auch unendlich und ohne Periodizität ist? Bzw. dass alle unendlichen Zahlen ohne Periodizität irrational sind? |
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"Aber wie beweist man, dass diese Zahl dann auch unendlich und ohne Periodizität ist? Bzw. dass alle unendlichen Zahlen ohne Periodizität irrational sind? Sie müssen diese Eigenschaften aufweisen, denn sonst wären sie ja rationale Zahlen. und die Periodenlänge ist hier 1 Und wenn du willst, kannst du die irrationalen Zahlen nochmals unterteilen : Es gibt zwei Arten von irrationalen Zahlen, zum einen die algebraischen und die transzendenten Zahlen. |
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Um bei deinem Beispiel mit zu bleiben, und selbst mit der willkürlich gewählten Periodenzahl bleibt= Der Vorschlag galt, mit zu multiplizieren: . Na, dämmert's? |
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Wollen wir uns einigen, wo wir die Diskussion zu Ende führen wollen ? www.onlinemathe.de/forum/Irrationale-Zahlen-und-ganzzahlige-Brueche Es ist nicht sehr höflich oder konstruktiv, die selbe Diskussion mehrfach zu führen. |
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Liegt weniger an meiner Unfreundlichkeit, sondern eher daran dass die web-version vom Forum super verbuggt ist. Man kann aber natürlich auch immer vom bösen ausgehen. |
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> die web-version vom Forum super verbuggt ist Da gebe ich dir Recht (was z.B. so manche Formeldarstellung betrifft). Aber inwiefern ist dies ein Grund, dasselbe Thema vier Stunden später nochmal zu starten? |
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Ganz einfach, ich habe gar nicht gesehen, dass die erste version hochgeladen wurde, da die webseite einfach abgestürzt ist. Ich mache mir doch nicht die Mühe, den Text neu zu verfassen, um euch zu nerven. (Weder Überschrift noch Inhalt sind identisch, es wurde ja also offensichtlich reproduziert und nicht kopiert) Mir ist es aufgefallen, als ich auf beiden threads Antworten erhalten habe und da waren mir dann die Antworten zu schön, um den Thread zu löschen. Aber ich verstehe nicht, wie ihr euch jetzt an sowas so aufhängen könnt. Vielen Dank für eure lieben Antworten und das nächste Mal wenn meine Seite abstürzt prüfe ich, dass ich mich nicht wiederhole. LG |
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Ganz einfach, ich habe gar nicht gesehen, dass die erste version hochgeladen wurde, da die webseite einfach abgestürzt ist. Ich mache mir doch nicht die Mühe, den Text neu zu verfassen, um euch zu nerven. (Weder Überschrift noch Inhalt sind identisch, es wurde ja also offensichtlich reproduziert und nicht kopiert) Mir ist es aufgefallen, als ich auf beiden threads Antworten erhalten habe und da waren mir dann die Antworten zu schön, um den Thread zu löschen. Aber ich verstehe nicht, wie ihr euch jetzt an sowas so aufhängen könnt. Vielen Dank für eure lieben Antworten und das nächste Mal wenn meine Seite abstürzt prüfe ich, dass ich mich nicht wiederhole. LG |
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Meine Aussage war weder böse noch unangemessen, im Gegenteil, ich glaube sehr angemessen zurechtweisend. ptchf, kein Mensch mag sich durch deine Rechtfertigungsaufsätze kämpfen. Wenn du sachlich noch voran kommen wolltest, dann wäre es hilfreich, wenn du Fragen beantwortest, zu verstehen gibst, wo du (mathematische) Schwierigkeiten hast, wissen lässt, wo du stehst und wo du hängst... |
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