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irrationalität einer Zahl

Schüler

Tags: irrational, Irrationale Zahlen, Irrationalität

 
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anonymous

anonymous

16:52 Uhr, 27.07.2020

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Hallo. Kann man allgemein oder durch einen Beweis durch Widerspruch beweisen, dass der Ausdruck 200-3*x2 keine rationale Zahl ausdrücken kann? Ich bedanke mich

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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pivot

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17:05 Uhr, 27.07.2020

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Hallo,

wie ist denn x definiert?

Gruß
pivot
anonymous

anonymous

17:06 Uhr, 27.07.2020

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Hallo. X ist aus den rationalen Zahlen. LG
Antwort
pivot

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17:48 Uhr, 27.07.2020

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Versuche es mal mit

pq=200-(uv)2 mit p,q,u,v+
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

14:43 Uhr, 28.07.2020

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@pivot

Du meinst pq=200-3(uv)2 und damit dann p2q2=200-3u2v2.

Etwas umgeformt und modulo 3 betrachtet kommt man mittels des Prinzips des unendlichen Abstiegs darauf, dass diese Gleichung keine Lösung in ganzen Zahlen p,q,u,v haben kann.
anonymous

anonymous

10:04 Uhr, 29.07.2020

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Hallo Hal9000. Super Ansatz, ich komme aber so noch nicht ganz mit (die Methode des unendlichen Abstiegs habe ich erarbeitet). Ich kann die Gleichung ja umformen zu p2=200*q2-3*(u2*q2)/v2. Wenn ich das nun mod3 betrachte, können alle Quadratzahlen entweder 0 oder 1 sein. 3*(u2*q2)/v2 ist mod3 auf jeden Fall 0. 200 mod 3 ist 2, aber da es mit einer Quadratzahl multipliziert wird, ist 200*q2 mod3 entweder 2 oder 0. Welche weiteren Schlussfolgerungen kann ich hier treffen bzw. wo kommt der unendliche Abstieg ins Spiel? Du würdest mir echt sehr weiterhelfen. Danke und liebe Grüße.
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

10:28 Uhr, 29.07.2020

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Ok, mal ausführlich: Gleichung p2q2=200-3u2v2 bedeutet p2v2=200q2v2-3u2q2, mit den Abkürzungen a=pv,b=uq,c=qv daher dann a2+3b2=200c2, modulo 3 betrachtet bedeutet das a22c2 mod 3.

Das bedingt unweigerlich a0 mod 3 und c0 mod 3, damit kommen wir via a=3a und b=3b zu 9a2+3b2=1800c2, also 3a2+b2=600c2. Das bedeutet dann auch b0 mod 3, womit wir via b=3b dann bei a2+3b2=200c2 sind. Nach dem Prinzip des unendlichen Abstiegs kommt damit letzlich nur a=0,b=0,c=0 als Lösung in Betracht, was wegen dann q=0 oder v=0 aber nicht als Lösung des ursprünglichen Problems in Frage kommt.

anonymous

anonymous

23:09 Uhr, 29.07.2020

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Danke Hal9000 für die tolle ausführliche Begründung. Soweit habe ich das verstanden. Ich hätte jedoch noch 2 kleine Rückfragen:

1. Wieso darf man das ganze mod 3 betrachten? Verändert man dann nicht etwas an der Gleichung bzw. der Aussagekraft der Schlussfolgerung?

2. Reicht es nicht schon, dass man einen unendlichen Abstieg bewiesen hat um einen Widerspruch aufzuzeigen oder ist die Bedingung mit q und v gleich 0 zwingend notwendig? Und wie kommt man genau darauf, dass für a, b und c nur 0 als Lösung in Frage kommen?

Vielen Dank für die bisherige Hilfe und beste Grüße.
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

08:56 Uhr, 30.07.2020

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> 1. Wieso darf man das ganze mod 3 betrachten?

Wer soll das denn bitteschön "verbieten"? Wenn u=v gelten soll, muss natürlich auch uv mod 3 gelten. Wenn letzteres dann zum Widerspruch geführt wird, dann kann auch ersteres nicht gelten.

Das ganze ist natürlich KEINE Äquivalenz, sondern nur eine Implikation. D.h. umgekehrt aus der Lösbarkeit von uv mod 3 kann nicht auf die von u=v geschlossen werden.


> 2. Reicht es nicht schon, dass man einen unendlichen Abstieg bewiesen hat um einen Widerspruch aufzuzeigen oder ist die Bedingung mit q und v gleich 0 zwingend notwendig?

Wenn du doch nur mal mitdenken würdest...

Der unendliche Abstieg bedeutet ja, dass immmer noch die Lösung a=0,b=0,c=0 der substitutierten Gleichung existiert. Nur interessiert uns ja nicht diese Gleichung, sondern die Originalgleichung. Via c=qv bedeutet dann aber c=0 die Gleichung qv=0, was nur gelten kann, wenn q=0 oder v=0 ist. Das sind nun aber die Nenner der Brüche pq sowie uv, welche nicht Null sein dürfen. Ergo gibt es keine Lösung der Originalgleichung.

Frage beantwortet
anonymous

anonymous

20:00 Uhr, 31.07.2020

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Ich bedanke mich!