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irrationalität einer Zahl

Schüler

Tags: irrational, Irrationale Zahlen, Irrationalität

anonymous

16:52 Uhr, 27.07.2020

Hallo. Kann man allgemein oder durch einen Beweis durch Widerspruch beweisen, dass der Ausdruck

\sqrt{200 - 3 * x^{2}}

keine rationale Zahl ausdrücken kann? Ich bedanke mich

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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17:05 Uhr, 27.07.2020

Hallo,

wie ist denn

x

definiert?

Gruß
pivot

anonymous

17:06 Uhr, 27.07.2020

Hallo. X ist aus den rationalen Zahlen. LG

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17:48 Uhr, 27.07.2020

Versuche es mal mit

\frac{p}{q} = \sqrt{200 - {(\frac{u}{v})}^{2}}

mit

p, q, u, v \in ℕ^{+}

HAL9000

14:43 Uhr, 28.07.2020

@pivot

Du meinst

\frac{p}{q} = \sqrt{200 - 3 {(\frac{u}{v})}^{2}}

und damit dann

\frac{p^{2}}{q^{2}} = 200 - 3 \frac{u^{2}}{v^{2}}

.

Etwas umgeformt und modulo 3 betrachtet kommt man mittels des Prinzips des unendlichen Abstiegs darauf, dass diese Gleichung keine Lösung in ganzen Zahlen

p, q, u, v

haben kann.

anonymous

10:04 Uhr, 29.07.2020

Hallo Hal9000. Super Ansatz, ich komme aber so noch nicht ganz mit (die Methode des unendlichen Abstiegs habe ich erarbeitet). Ich kann die Gleichung ja umformen zu

p^{2} = 200 * q^{2} - 3 * (u^{2} * q^{2}) / v^{2}

. Wenn ich das nun

m o d 3

betrachte, können alle Quadratzahlen entweder 0 oder 1 sein.

3 * (u^{2} * q^{2}) / v^{2}

ist mod3 auf jeden Fall 0. 200 mod 3 ist 2, aber da es mit einer Quadratzahl multipliziert wird, ist

200 * q^{2}

mod3 entweder 2 oder 0. Welche weiteren Schlussfolgerungen kann ich hier treffen bzw. wo kommt der unendliche Abstieg ins Spiel? Du würdest mir echt sehr weiterhelfen. Danke und liebe Grüße.

HAL9000

10:28 Uhr, 29.07.2020

Ok, mal ausführlich: Gleichung

\frac{p^{2}}{q^{2}} = 200 - 3 \frac{u^{2}}{v^{2}}

bedeutet

p^{2} v^{2} = 200 q^{2} v^{2} - 3 u^{2} q^{2}

, mit den Abkürzungen

a = p v, b = u q, c = q v

daher dann

a^{2} + 3 b^{2} = 200 c^{2}

, modulo 3 betrachtet bedeutet das

a^{2} \equiv 2 c^{2} mod 3

.

Das bedingt unweigerlich

a \equiv 0 mod 3

und

c \equiv 0 mod 3

, damit kommen wir via

a = 3 a'

und

b = 3 b'

9 a'^{2} + 3 b^{2} = 1800 c'^{2}

, also

3 a'^{2} + b^{2} = 600 c'^{2}

. Das bedeutet dann auch

b \equiv 0 mod 3

, womit wir via

b = 3 b'

dann bei

a'^{2} + 3 b'^{2} = 200 c'^{2}

sind. Nach dem Prinzip des unendlichen Abstiegs kommt damit letzlich nur

a = 0, b = 0, c = 0

als Lösung in Betracht, was wegen dann

q = 0

oder

v = 0

aber nicht als Lösung des ursprünglichen Problems in Frage kommt.

anonymous

23:09 Uhr, 29.07.2020

Danke Hal9000 für die tolle ausführliche Begründung. Soweit habe ich das verstanden. Ich hätte jedoch noch 2 kleine Rückfragen:

1. Wieso darf man das ganze mod 3 betrachten? Verändert man dann nicht etwas an der Gleichung bzw. der Aussagekraft der Schlussfolgerung?

2. Reicht es nicht schon, dass man einen unendlichen Abstieg bewiesen hat um einen Widerspruch aufzuzeigen oder ist die Bedingung mit q und v gleich 0 zwingend notwendig? Und wie kommt man genau darauf, dass für a, b und c nur 0 als Lösung in Frage kommen?

Vielen Dank für die bisherige Hilfe und beste Grüße.

HAL9000

08:56 Uhr, 30.07.2020

> 1. Wieso darf man das ganze mod 3 betrachten?

Wer soll das denn bitteschön "verbieten"? Wenn

u = v

gelten soll, muss natürlich auch

u \equiv v mod 3

gelten. Wenn letzteres dann zum Widerspruch geführt wird, dann kann auch ersteres nicht gelten.

Das ganze ist natürlich KEINE Äquivalenz, sondern nur eine Implikation. D.h. umgekehrt aus der Lösbarkeit von

u \equiv v mod 3

kann nicht auf die von

u = v

geschlossen werden.

> 2. Reicht es nicht schon, dass man einen unendlichen Abstieg bewiesen hat um einen Widerspruch aufzuzeigen oder ist die Bedingung mit q und v gleich 0 zwingend notwendig?

Wenn du doch nur mal mitdenken würdest...

Der unendliche Abstieg bedeutet ja, dass immmer noch die Lösung

a = 0, b = 0, c = 0

der substitutierten Gleichung existiert. Nur interessiert uns ja nicht diese Gleichung, sondern die Originalgleichung. Via

c = q v

bedeutet dann aber

c = 0

die Gleichung

q v = 0

, was nur gelten kann, wenn

q = 0

oder

v = 0

ist. Das sind nun aber die Nenner der Brüche

\frac{p}{q}

sowie

\frac{u}{v}

, welche nicht Null sein dürfen. Ergo gibt es keine Lösung der Originalgleichung.

anonymous

20:00 Uhr, 31.07.2020

Ich bedanke mich!

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